10.5 二项式定理
巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.二项式定理
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn. 2.通项公式
Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n).
3.展开式的特点:项数(共有n+1项);系数(第r+1项的二项式系数为Crn);指数(每一项a、b的指数之和都等于n;a的指数从n开始依次减1,直到0为止;b的指数从0开始依次加1,直到n为止).
4.Crn=Cn-rn,Cmn+Cm-1n=Cmn+1,C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n,C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 5.若n是偶数,则中间项第第
n?1n+1项的二项式系数最大;若n是奇数,则中间两项第项和
22n?1+1项的二项式系数最大. 2 二、点击双基
1.(2005江西高考)(x+3x)12的展开式中,含x的正整数次幂的项共有( ) A.4项 B.3项 C.2项 D.1项 解析:设第r+1项含x的正整数次幂, ∴Tr+1=Cr12(x)-r(x)=Cr12x1212
13r
16?r6,其中0≤r≤12.要使6-
1r为正整数,必须使r为6的倍数. 6∴r=0,6,12. 答案:B
2.(2005全国高考卷Ⅲ)在(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28
解析:由题意知先求出(x+1)8展开式中x4、x5的系数分别为C48=70,C58=C38=56,注意第一个因式为(x-1),则题中x5的系数为70-56=14. 答案:B
3.(2005浙江高考)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 解析:x3项的系数为-(C35+C36+C37+C38)=-121. 答案:D
4.(2005福建高考)(2x-
16
)展开式中的常数项是______________.(用数字作答) x126-r
33?r2解析:设r+1项为常数项,则Tr+1=Cr6(2×x)(-x-1)r=Cr626-r(-1)rx 令3-
.
3r=0,r=2. 2 ∴常数项为C2624(-1)2=240. 答案:240
5.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中,x2项的系数是____________________.(用数字作答)
解析:由题意知有C22+C23+C24+C25+C26=C33+C23+C24+C25+C26=C37=答案:35
诱思·实例点拨 【例1】 在(
7?6?5=35.
3?2?1x18-)的展开式中常数项是( )
23xA.-28 B.-7 C.7 D.28 剖析:利用二项展开式的通项公式,令x的指数为0,求得r的值.
r8?rx8-r43rrrrr
解:Tr+1=(-1)C8()·x=(-1)C8·2-8·x3令8-r=0,得r=6.
2314 ∴T7=T6+1=C68·26-8=C28·2-2=7.
答案:C
讲评:求指定项(常数项、中间项、最大项、有理项等)的关键在于通项变形,列出条件关系式, 像本题在(
1x18x-)的展开式中,a=,b=-,通项公式为
3322xx Tr+1=Cr8(
x8-r1r)(-),r=0,1,2,…,8.对通项变形、整理为关于x的单项式,从而求解. 32x【例2】在(x2+3x+2)5的展开式中,x的系数是…( )
A.160 B.240 C.360 D.800 剖析:将三项式转化为二项式求解,有两条途径: (1)x2+3x+2=(x2+3x)+2; (2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5.
解:(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5,通项为Ck5(x2+3x)5-k2k(0≤k≤5). 该通项的通项为Ck52kCr5-k3rx10-2k-r(0≤r≤5-k). 令10-2k-r=1,即2k+r=9. ∴r=1,k=4.
∴x的系数为C4524·3=240. 答案:B
讲评:此解法是把三项式转化为二项式求解,这是处理非二项式的一般方法. 链接·提示
此题也可以从以下两个角度来思考:
1.也可把三项式转化为两个二项式乘积来求解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,其x的系数为C45·14·C55·25+C55·15·C45·24.
2.(x2+3x+2)5是五个三项式相乘,从其中1个三项式中取3x,从另外4个三项式中取常数项,相乘即得x的一次项.
【例3】设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5;
(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.
剖析:(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5为关于x的恒等式,求系数和的问题可用赋值法解决. 解:设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1, f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. (1)∵a5=25=32,
∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.
(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243. (3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), ∴a1+a3+a5=
244=122. 2 (4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=243.
讲评:本题是关于二项展开式各项系数的常见问题,应掌握f(1)及f(-1)的含义,其中借助f(1)求各项系数之和是最常用的办法.
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)二项式定理
