2018 年普通高等学校招生全国统一考试及答案
理科数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．设 z ?
1? i
? 2i ，则| z |??
1
B．
1? i
0 A．
2. 已知集合 A ?
2
C．1
D． 2
?x x
2
? x ? 2 ? 0，则eR A ??
?
?
B． x ?1 ? x ? 2
A． x ?1 ? x ? 2
????
????
C．x | x ? ?1??x | x ? 2??
?
?D．x | x ? ?1??x | x ? 2???
3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例， 得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
建设后经济收入构成比例
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半Sn 为等差数列?an ? 的前 n 项和.若3S3 ? S2 ? S4 ， a1 ? 2 ，则 a5 ??4．记
A． ?12 D．12
B． ?10 C．10
5. 设函数 f (x) ? x
3
? (a ?1)x2 ? ax .若 f (x) 为奇函数，则曲线 y ??f (x) 在点(0, 0) 处的
切线方程为
B. y ? ?x
C. y ? 2x
A. y ? ?2x
y ? x D．
6. 在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB ??
?
A. ?????3 ?????AB ??1 AC 4 4
B. ?????1 ?????AB ??3 AC
4 4
C. ?????3 ?????AB ??1 AC
4 4
1 ???? 3 ?????
AB ? AC D. 4 4
7. 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应
点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N的路径中，最短路径的长度为
A． 2 17
2
B． 2 5
C．3 D．2
8. 设抛物线 C：y=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，
2 3
则 FM ? FN =
A．5
B．6
C．7
D．8
9.
?ex，x ? 0，
已知函数 f (x) ? ??g(x) ? f (x) ? x ? a ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的
?ln x，x ? 0
取值范围是
A．[–1，0） D．[1，+∞）
B．[0，+∞） C．[–1，+∞） 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC． △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则
A．p1=p2
B．p1=p3 D．p1=p2+p3
C．p2=p3
x2 2
11. 已知双曲线 C： ? y ? 1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条
3
渐近线的交点分别为 M、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=
3
A． 2 3 B．3 C．
2
D．4
12. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得
截面面积的最大值为
A. 3 3
4
B. 2 3
3
C. 3 2
4
D. 3 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
13. 若 x ， x ? y ? 1 ? 0 ，则 y 满足约束条件??z ? 3x ? 2 y 的最大值为
? y ? 0 ??
14. 记 Sn 为数列?an ? 的前 n 项和.若 Sn ? 2an ? 1 ，则 S6 ?
．
．
15. 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法
共有
16. 已知函数 f
种．（用数字填写答案）
? x? ? 2sin x ? sin 2x ，则 f ? x? 的最小值是
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。
17．（12 分）
在平面四边形 ABCD 中， ?ADC ? 90， ?A ? 45， AB ? 2 ， BD ? 5 .
（1） 求cos?ADB ；
? ?
（2） 若 DC ? 2
2 ，求 BC .
18．（12 分）
如图，四边形 ABCD 为正方形，E, F 分别为 AD, BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF ? BF .
（1） 证明：平面 PEF ? 平面 ABFD ； （2） 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.
19．（12 分）
x2 2
设椭圆C : ? y
2
? 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标
为(2, 0) .
（1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2） 设O 为坐标原点，证明： ?OMA ? ?OMB .
20．（12 分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0
? p ? 1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&网
（1） 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 ．
（2） 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p
的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件
不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，
求 EX ;
（ii） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ 21．（12 分）
已知函数 f (x) ? ? x ? a ln x ．
1
x
（1） 讨论 f (x) 的单调性；
? x1 ? ? f ? x2 ? ? a ? 2 ．
x ? x 1 （2） 若 f (x) 存在两个极值点 x , x 2 ，证明： f 1
2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的方程为 y ? k|x| ? 2 .以坐标原点为极点， x 轴正半轴
?? 2?cos?? 3 ? 0 . 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
2
（1） 求C2 的直角坐标方程；
（2） 若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 f (x) ?| x ?1| ? | ax ?1| .
（1） 当 a ? 1 时，求不等式 f (x) ? 1 的解集；
（2） 若 x ?(0,1) 时不等式 f (x) ? x 成立，求 a 的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题及参考答案(1)
