袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为
5．现甲、12乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．
23．(本小题满分10分)
空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成an个部分. （1）求a1,a2,a3,a4 ；
（2）写出an关于n的表达式并用数学归纳法证明.
高三教学期末调研测试 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．0 2．?i 3.
5 4. 11 5．
8 6．2 15 7．(??,2] 8．7 9． 10．?1?、?3?、?4?
2?3n?n?2?1??5? 11．?0,? 12． 13． 4?42 14．??
4?2??6?二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． πππ15．解：（1）∵?,??(0,)，从而??????．
2221π又∵tan(???)???0，∴??????0． …………………………4分
32∴sin(???)??10． ………………………………6分 10（2）由（1）可得，cos(???)?310． 1034∵?为锐角，sin??，∴cos??． ……………………………………10分
55∴cos??cos[??(???)]?cos?cos(???)?sin?sin(???) …………12分 4310310910??． …………………………14分 ??(?)?5105105016．证明：
（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…………………2分
因为CD∥AB，所以MN∥CD．
又CD ?平面PCD， MN ?平面PCD，所以MN∥平面PCD. ……4分 （2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，
又因为PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 所以CD⊥PD，又ADPD?D，所以CD⊥平面PAD．……………6分
因为MD?平面PAD，所以CD⊥MD，
所以四边形MNCD是直角梯形．……………………………………8分 （3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而
∠PAD= 60． …………………………9分
在Rt△PDA中，AD?2，PD?6，PA?22，MD?2． 在直角梯形
MNCD
中，MN?1，ND?3，CD?3，
CN?MD2?(CD?MN)2?6，
从而DN2?CN2?CD2，所以DN⊥CN． …………………………11分
在Rt△PDB中，PD= DB=6， N是PB的中点，则DN⊥PB．……13分 又因为PB
17．解：（1）设AF?y，则x?y?l2?2lx．………3分 x?y?l，整理，得y?2(l?x)22CN?N，所以DN?平面PCB ． …………………14分
1x(l2?2lx) S?xy?，x?(0,b?． …………………………………4分
24(l?x)?l2x2?4lx?l22l2?2??2?2??x?l?（2）S??22?????x?2l??,x?(0,b? 424?x?l???x?l?????'?当b?bl?2b?l?2?2； l时，S'?0，S在(0,b?递增，故当x?b时，Smax?4?b?l?2当b??2?2??2?2?2?2'0,lx?上，，递增，在S?0l时，在x??S?????2l,b??上，22????2?23?222l时，Smax?l. 24S'?0，S递减，故当x?18．解：（1）
AF2?5BF2?0，?AF2?5F2B.?a?c?5?a?c?，化简得2a?3c，
2. 3故椭圆E的离心率为
4（2）存在满足条件的常数?，??.点D?1,0?为线段OF2的中点，?c?2，从
7x2y2?1.设M?x1,y1?，N?x2,y2?，而a?3，b?5，左焦点F1??2,0?，椭圆E的方程为?95x1?1x2y2P?x3,y3?，Q?x4,y4?，则直线MD的方程为x??1，整y?1，代入椭圆方程?y195理得，
5?x12x1?1y?y?4?0.y12y1y1?y3?y1?x1?1?x1?5，?y3?4y15x?9.从而x3?1，故点x1?5x1?5?5x?94y1??5x2?94y2?y1y2?.同理，点，P?1,Q,???.三点M、F1、N共线，?x?2x?2x?5x?5x?5x?512?11??22?
从而
x1y2?x2y1?2?y1?y2?.从而
4y14y2?xy?x2y1?5?y1?y2?7?y1?y2?7k1y?y4x?5x2?54kk2?3?1?12??.故k1?2?0，从
x3?x45x1?95x2?94?x1?x2?4?x1?x2?47?x1?5x2?54而存在满足条件的常数?，??.
7
19．解：（1）由题得a2?5,b2?3，所以a1?b2?3，从而等差数列{an}的公差d?2，
所以an?2n?1，从而b3?a4?9，所以bn?3n?1． ……………………3分 （2）设等差数列{an}的公差为d，等比数列?bn?的公比为q，则a1?5?d，b1?a3?5?d，b3?3q.
3，q因为a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，所以(a1?b1)?(a3?b3)?(a2?b2)2?64．
?a1?b1?m设?，m,n?N*，mn?64， ?a3?b3?n3?5?d??m?q则?，整理得，d2?(m?n)d?5(m?n)?80?0.
?5?d?3q?n?n?m?(m?n?10)2?36解得d?（舍去负根）.
2a3?5?d，?要使得a3最大，即需要d最大，即n?m及(m?n?10)取最大
2值.m,n?N*，mn?64，
?当且仅当n?64且m?1时，n?m及(m?n?10)取最大值.
2从而最大的d?63?761， 273?761 ………16分 2所以，最大的a3?20．解：（1）若a=1, 则f(x)?xx?1?lnx．
12x2?x?1 当x?[1,e]时, f(x)?x?x?lnx,f(x)?2x?1???0，
xx2'
所以f(x)在[1,e]上单调增, ?f(x)max?f(e)?e2?e?1. ……………2分 （2）由于f(x)?xx?a?lnx，x?(0,??)．
12x2?ax?1 （ⅰ）当a?0时，则f(x)?x?ax?lnx，f(x)?2x?a??，
xx2'a?a2?8?0（负根舍去）， 令f(x)?0，得x0?4' 且当x?(0,x0)时，f(x)?0；当x?(x0,??)时，f(x)?0，
''a?a2?8a?a2?8)上单调减，在(,??)上单调增.……4分 所以f(x)在(0,44（ⅱ）当a?0时，
12x2?ax?1①当x?a时， f(x)?2x?a??,
xx'a?a2?8a?a2?8?a舍）， 令f(x)?0，得x1?（x?44'a?a2?8?a，即a?1, 则f'(x)?0，所以f(x)在(a,??)上单调增； 若4a?a2?8?a，即0?a?1, 则当x?(0,x1)时，f'(x)?0；当x?(x1,??)时，若4a?a2?8a?a2?8)上是单调减，在(,??)上单调f(x)?0，所以f(x)在区间(0,44'增. ………………………………………………………6分
1?2x2?ax?1②当0?x?a时, f(x)??2x?a??,
xx'令f(x)?0，得?2x2?ax?1?0，记??a2?8，
若??a2?8?0，即0?a?22, 则f(x)?0，故f(x)在(0,a)上单调减； 若??a2?8?0，即a?22,
''a?a2?8a?a2?8则由f(x)?0得x3?，x4?且0?x3?x4?a，
44'
数学试题1
