2019年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合A??x?Zlog2x?2?的真子集个数为（ ） A．7 B．8 C．15 D．16
2.三棱锥P?ABC的底面?ABC是边长为3的正三角形，PA?3,PB?4,PC?5，则三棱锥P?ABC的体积为（ ）
A．3 B．10 C．11 D．23 3.已知函数f?x?满足：f?1??A．
1，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则f?2019??（ ） 41111 B．? C． D．? 2244sinx，则对?x?R，下列说法中错误的是（ ）
2?cosx4.已知f?x??31A．f?x??sinx B．f?x??x C．f?x?? D．f???x??f???x??0
335.已知f?x??2?x?1?22x?x?1在??2018,0???0,2018?上的最大值为M，最小值为N，则M?N?（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6.设x?0,y?0,z?0，满足x?y?xy,x?y?z?xyz，则z的取值范围是（ ） 4??4?? C．?1,30,A．0,3? B． D．??1,? ????3??3???第Ⅱ卷（共120分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 7.函数y??x?3??log2??2?的定义域为 ．
?x?1?x2?6x?818.已知圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2?k?R?上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值等于 ． 9.如图，在直角三角形ABC中，?ACB?CP?CA?CP?CB? ．
?2,AC?BC?2，点P是斜边AB上一点，且BP?2PA，则
10.已知点P在直线x?2y?1?0上，点Q在直线x?2y?3?0上，PQ的中点为M?x0,y0?，且y0?x0?2，则
y0的取值范围是 ． x0?a?b?2?0a?2b?11.若实数a,b满足条件?b?a?1?0，则的最大值等于 ．
2a?b?a?1?12.在数列?an?中，若an2?an?12?p(n?2,n?N*,p为常数)，则称?an?为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断： ①数列??1??n?是等方差数列；
??② 若?an?是等方差数列，则an2是等差数列；
③ 若?an?是等方差数列，则?akn?(k?N*,k为常数）也是等方差数列； ④ 若?an?既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 ．(将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题 （本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 7??13.已知函数f?x??4cosx?sin?x?6????a的最大值为2. ?（1）求a的值及f?x?的最小正周期； （2）求f?x?的单调递减区间.
14.数列?an?为等差数列，且满足3a5?8a12?0，数列?bn?满足bn?an?an?1?an?2n?N*，?bn?的前n项和记为Sn，问：n为何值时，Sn取得最大值，说明理由.
?1?15.已知抛物线y?ax2过点P??1,1?，过点Q??,0?作斜率大于0的直线l交抛物线于M,N两点（点M在
?2?Q,N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B，?PMA与?OAB的面积分别记为S1,S2，
??比较S1与3S2的大小，说明理由.
16.设x,y,z?0，且至多有一个为0，求f?x,y,z??
x2?256yz?y2?z2y2?256zxz2?256xy的最小值. ?z2?x2x2?y22019年全国高中联赛（吉林赛区）预赛
数学试题答案
一、选择题 1-6: CCBABD
二、填空题
7. ?1,2???4,5? 8.11.
4?11? 9. 4 10.??,?? 3?25?7 12. ①②③④ 5三、解答题
7??13. 解：（1）f?x??4cosx?sin?x?6???31??a?4cosx??sinx?cosx?a ?????22?????23sinxcosx?2cos2x?1?1?a??3sin2x?cos2x?1?a
?????2sin?2x???1?a，
6?????因此，当sin?2x????1时，f?x?取得最大值2?1?a?1?a，
6??又因为f?x?的最大值为2，所以1?a?2，即a?1.
2???. 2???（2）由（1）得f?x???2sin?2x??
6???????令2x?????2k?,?2k??,k?Z，
6?22?????得x????k?,?k??,k?Z，
6?3?????因此，f?x?的单调减区间为???k?,?k??,k?Z.
6?3?f?x?的最小正周期为T?14.解：∵3a5?8a12?0 ∴3a5?8?a5?7d?. 解得a5??56d?0. 576d. 5∴d?0，a1??故?an?是首项为正数的递减数列.
?76?d??n?1?d?0??an?011?5由?，即?，解得15?n?16.
55?an?1?0??76d?nd?0??5即a16?0,a17?0， ∴a1?a2?a3??a16?0?a17?a18?，∴b1?b2?b3??b14?0?b17?b18?，
而b15?a15a16a17?0，b16?a16a17a18?0， ∴S14?S13??S1，S14?S15，S15?S16，S16?S17?S18?.
9?3?6又S16?S14?b15?b16?a16a17?a15?a18??a16a17??d?d??da16a17?0.
5?5?5所以Sn中S16最大，即n?16时，Sn取得最大值. 15.解：抛物线y?ax2过点P??1,1?，得a?1， 所以抛物线的方程为y?x2.
1??设直线l的方程为y?k?x?? (其中k?0)，
2???1??y?kx????2?，得2x2?2kx?k?0. 由???y?x2?k设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1?x2，A??y1,y1?，x1?x2?k,x1x2??，
2又ON的方程为y??yx?yxy2x，故B?12,y1?，所以MA??y1?x1，AB?12?y1，
y2x2?y2?有AB?MA?y1x2yx?2y1y2?x1y2?2y1?x1?12 y2y21?1??1?1????k?x1???x2?2k?x1???k?x2???x1?k?x2??2?2??2?2??? ??y2?2k?21?1??2k?x1x2??k2?k??x1?x2??k22?2? y21?1?k???2k??????k2?k?k?k22?2?2???0 y2?2k?2可得AB?AM.
1113由题意知??xQ?x1?0，故y1?x12?，1?y1?1??.
2444又因为S1?11AM??1?y1?，S2?AB?y1，所以S1?3S2. 22
2019年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题Word版含答案
