课 题： 10．4二项式定理(四)
教学目的：
1掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
n0n1nrn?rrnn?（1）(a?b)?Cna?Cnab?L?Cnab?L?Cnb(n?N)， n1rrn（2）(1?x)?1?Cnx?L?Cnx?L?x. rn?rr2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二
系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它两个数的和 5．二项式系数的性质：
项式肩上
10CnCn2，Cnn．Cnr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn，，…，
可以
看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,L,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图）
mn?m（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn?Cn）．
直线r?n是图象的对称轴． 2n2nn?12n（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，
Cn?12n取得最大值．
（3）各二项式系数和：
n1rrn∵(1?x)?1?Cnx?L?Cnx?L?x，
n012rn令x?1，则2?Cn?Cn?Cn?L?Cn?L?Cn 二、讲解范例：
2n例1． 设?1?x???1?x???1?x??L??1?x??a0?a1x?a2x?L?anx，
23n当a0?a1?a2?L?an?254时，求n的值 解：令x?1得：
2(2n?1)a0?a1?a2?L?an?2?2?2?L?2??254，
2?123n∴2?128,n?7，
nn?1点评：对于f(x)?a0(x?a)?a1(x?a)?L?an，令x?a?1,即x?a?1可得各项系数
n的和a0?a1?a2?L?an的值；令x?a??1,即x?a?1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 123nn?1例2．求证：Cn?2Cn?3Cn?L?nCn?n?2．
123n证（法一）倒序相加：设S?Cn?2Cn?3Cn?L?nCn ① nn?1n?221又∵S?nCn?(n?1)Cn?(n?2)Cn?L?2Cn?Cn ② 0n1n?1rn?r∵Cn?Cn，∴Cn?Cn,Cn?Cn,L，
012n由①+②得：2S?nCn， ?Cn?Cn?L?Cn??∴S?1123n?2Cn?3Cn?L?nCn?n?2n?1． ?n?2n?n?2n?1，即Cn2（法二）：左边各组合数的通项为
rCnr?r?n!n?(n?1)!r?1??nCn?1，
r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!n?1123n012n?1∴ Cn． ?2Cn?3Cn?L?nCn?nCn?1?Cn?1?Cn?2?L?Cn?1?n?2??例3．已知：(x?3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 232n解：令x?1，则展开式中各项系数和为(1?3)?2， 又展开式中二项式系数和为2， ∴22nn2nn?2n?992，n?5．
（1）∵n?5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3?C(x)(3x)?90x，T4?C(x)(3x)?270x， （2）设展开式中第r?1项系数最大，则Tr?1?C(x)rrr?1r?1?79?3C5?3C5∴?，∴r?4， ??r?rrr?1r?122??3C5?3C5r5235?r252332263523223223(3x)?3Cx2rrr510?4r3，
即展开式中第5项系数最大，T5?C(x)(3x)?405x452324263．
n1n?12n?2n?1???Cn?2?1(n?N?)， 例4．已知Sn?2?Cn2?Cn2求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn?4n?1变形，化为含有因数64的多项式 n1n?12n?2n?1nn ∵Sn?2?Cn2?Cn2?L?Cn?2?1?(2?1)?3，
n*∴Sn?4n?1?3?4n?1，∵n为偶数，∴设n?2k（k?N）， 2k∴Sn?4n?1?3?8k?1?(8?1)?8k?1
1k?1?Ck08k?Ck8?L?Ckk?18?1?8k?1
0k1k?122 ?(Ck8?C88?L?Ck)8 （?） ，
k当k=1时，Sn?4n?1?0显然能被64整除， 当k?2时，（?）式能被64整除，
所以，当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 三、课堂练习： 1．
?x?1??x?1?展开式中x的系数为 ，各项系数之和为 ．
45412233nn2．多项式f(x)?Cn(x?1)?Cn(x?1)?Cn(x?1)?L?Cn(x?1)（n?6）的展开式中，
x6的系数为 3．若二项式(3x?21n?n?N)（）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ） 32x A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上
(新人教A)高三数学教案全集之10.4二项式定理(四)
