2022届高考数学复习题：数系的扩充与复数的引入
1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A．1 C．1或2
B．2 D．－1
解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数， ?a2－3a＋2＝0，所以?解得a＝2.
a－1≠0，?答案：B
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A．i(1＋i)2 C．(1＋i)2
B．i2(1－i) D．i(1＋i)
解析：由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C. 答案：C
3．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝( ) A．－1 C．－2
B．1 D．2
解析：因为m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数， 所以m2＋m－2＝0，m2－1≠0，所以m＝－2. 答案：C
4．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( ) A．－2i C．－4i
B．2i D．4i
4
解析：由已知可得zi＝4，所以z＝i＝－4i. 答案：C
5．设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，则z1－z2＝(a1＋b1i)－(a2＋b2i)＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，若z1－z2是虚数，则b1－b2≠0，所以b1，b2
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不能都为零，即“z1，z2中至少有一个数是虚数”；若“z1，z2中至少有一个数是虚数”，则b1，b2至少有一个不为零，但是有可能b1－b2＝0，比如1＋i,2＋i都是虚数，但是它们的差为实数，所以“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的必要不充分条件． 答案：B
6．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
2
?4a＝0，
解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a－4)i＝－4i，所以?2解得a
?a－4＝－4，＝0.故选B. 答案：B
7．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________． 解析：因为z＝答案：1
?1－3i?2
?＝__________. 8．|1＋2i|＋?
?1＋i?
2
?1－3i?－2－23i－2－23i
解析：原式＝12＋?2?2＋＝3＋＝3＋
2i2i＋2i＝?1＋i?2
2
＝1－i，所以z的实部是1. 1＋i
i. 答案：i
9．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是__________．
?m＝2cos θ，2
解析：由复数相等的充要条件可得?消去m得4－4cosθ2
4－m＝λ＋3sin θ，?3?2?
＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cosθ－3sin θ＋4＝4sinθ－3sin θ＝4?sin θ－8???
9?9?－16.因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈?－16，7?.
??
?9?
答案：?－16，7?
??
2
2
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10．已知复数
＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( ) 1＋i
B．1－3i D．1＋3i
z
A．－1＋3i C．－1－3i
解析：由题意得，z＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i. 答案：B
11．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )
A．3－2i C．2＋3i
B．3＋2i D．2－3i
解析：因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i. 答案：D
12．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数(i为虚数单位)，则a＝( )
A．2 C．0
B．1 D．－1
解析：因为(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i ＝－2a＋(a2－1)i是正实数，
所以－2a＞0，a2－1＝0，解得a＝－1. 答案：D 1＋2i13.＝( ) ?1－i?2
1
A．－1－2i 1
C．1＋2i 解析：
1
B．－1＋2i 1
D．1－2i
1＋2i1＋2i?1＋2i?i－2＋i1
＝＝＝＝－1＋
222i. ?1－i?2－2i
答案：B
y
14．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则x的最大值为__________．
解析：复数z＝x＋yi且|z－2|＝3，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)
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y
为圆心，3为半径的圆(x－2)2＋y2＝3.x的几何意义是圆上的点与坐标原点y|2k|y
连线的斜率，设x＝k，即y＝kx，≤3，可得k∈[－3，3]，则
x的1＋k2最大值为3. 答案：3
15．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i， 由已知得a＋1＝0， 解得a＝－1. 答案：－1
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