第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、
7.3正切函数的诱导公式 训练案知能提升 新人教A版必修4
[A.基础达标]
π??1．函数y＝3tan?2x＋?的定义域是( )
4??
???π
A.?x?x≠kπ＋，k∈Z?
2???
???kπ3π
－，k∈Z? B.?x?x≠28???
???kππ
＋，k∈Z? C.?x?x≠28???
???kπ?? x≠，k∈ZD.x?2???
ππkππ
解析：选C.由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
4228
2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．
当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角． 3．函数y＝|tan x|的周期为( ) πA. B．π 2
C．2π D．3π
解析：选B.结合函数y＝|tan x|的图像可知周期为π.
4．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，下列说法不正确的是( ) A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数 C．存在φ，使f(x)为奇函数
D．对任意的φ ，f(x)都不是偶函数 解析：选A.当φ＝kπ(k∈Z)时，
f(x)＝tan(x＋kπ)＝tan x为奇函数．
5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )
?π?(1)在?0，?上是递减的．
2??
(2)最小正周期为2π. (3)是奇函数． A．y＝tan x B．y＝cos x C．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin 2x
?π?解析：选C.y＝tan x在?0，?上是递增的，不满足条件(1)．
2??
B．函数y＝cos x是偶函数，不满足条件(3)．
C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin x，满足三个条件．
1
D．函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，不满足条件(2)．
6．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan 的图像相交，两相邻交点间的距离为________．
2
解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期． 答案：2π
7．比较大小：tan 211°________tan 392°. 解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°. tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°， 因为tan 31° 2 8．函数f(x)＝tan x－1＋1－x的定义域为________． ?tan x－1≥0，?tan x≥1，?? ?2解析：要使函数f(x)有意义，需?即解得2 ??1－x≥0，x≤1.?? ππ??kπ＋≤x 4 ??－1≤x≤1， ?π?答案：?，1? ?4? tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α） 9．化简：. 3π??3π??sin?α＋?cos?α＋?2??2?? tan（－α）·sin（－α）·cos（－α） 解：原式＝ ππ????????sin?2π－?－α??·cos?2π－?－α????2????2?? （－tan α）·（－sin α）·cos α＝ ππ????????sin?－?－α??cos?－?－α????2????2?? 2sinα＝ ππ????－sin?－α?cos?－α??2??2?2sinαsin α＝＝－＝－tan α. －cos α·sin αcos α2 10．(1)求y＝tanx＋4tan x－1的值域； ?ππ??π?(2)若x∈?，?时，y＝k＋tan?－2x?的值总不大于零，求实数k的取值范围． ?63??3? 22 解：(1)设t＝tan x，则y＝t＋4t－1＝(t＋2)－5≥－5， 2 所以y＝tanx＋4tan x－1的值域为[－5，＋∞)． ?π?(2)由y＝k＋tan?－2x?≤0， ?3? π??π??得k≤－tan?－2x?＝tan?2x－?. 3??3?? ?ππ?因为x∈?，?， ?63?π?π? 所以2x－∈?0，?. 3?3? π??由正切函数的单调性，得0≤tan?2x－?≤3， 3?? x 2 π??所以要使k≤tan?2x－?恒成立，只要k≤0即可． 3?? 所以k的取值范围为(－∞，0]． [B.能力提升] ?π?1．已知f(tan x)＝cos 3x，且x∈?0，?，则f(tan 375°)的值为( ) 2??1 A. 2C. B．－ 2 2 21 D．－ 22 解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°， 2. 2 2．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A．a>b>c B．a ?π?解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在?，π?上为增函?2? 数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)． ?π??99?3．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f??＝7，则f?π?＝________． ?5??5? ππ?π?解析：依题意得f??＝asin ＋btan ＋1＝7， 55?5? ππ 所以asin ＋btan ＝6， 55 9999?99?所以f?π?＝asin π＋btan π＋1＝ 55?5? ?99??99?asin?π－20π?＋btan?π－20π?＋1 ?5??5? ππ ＝－asin －btan ＋1 55ππ??＝－?asin ＋btan ?＋1 55?? ＝－6＋1＝－5. 答案：－5 4．给出下列命题： π??①函数y＝tan x的图像关于点?kπ＋，0?(k∈Z)对称； 2?? ②函数f(x)＝sin |x|是最小正周期为π的周期函数； 2 ③函数y＝cosx＋sin x最小值为－1； 所以f(tan 375°)＝f(tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝ ④设θ为第二象限的角，则tan >cos，且sin>cos.其中正确的命题序号是 2222 ________． π??解析：①函数y＝tan x的图像关于点?kπ＋，0?(k∈Z)对称，正确；②函数f(x)＝2?? sin|x|是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f(x)＝sin|x|不是周期函数；③因为函 22 数y＝cosx＋sin x＝－sinx＋sin x＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限 ππθπθ的角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，即为第一象限24222 3 θθθθ或第三象限的角，所以④不对． 答案：①③ sin x5．已知函数f(x)＝. |cos x| (1)求函数的定义域； (2)用定义判断f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f(x)的图像； (4)写出f(x)的最小正周期及单调性． π 解：(1)因为由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)， 2 ???π 所以函数的定义域是?x?x≠kπ＋，k∈Z?. 2??? (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称． sin（－x）sin x又因为f(－x)＝＝－ |cos（－x）||cos x| ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． ππ tan x，－ 22 (3)f(x)＝ ππ －tan x，－π≤x<－或 22 则f(x)在其定义域上的图像如图所示． ????? (4)f(x)的最小正周期为2π， π?π?递增区间是?－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)， 2?2?π3π???π?递减区间是?－π＋2kπ，－＋2kπ?，?＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)． 22???2? ?ππ?2 6．(选做题)已知f(x)＝x＋2x·tan θ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈?－，?. ?22? π (1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值； 6 (2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3 ]上是单调函数． π233?24?2 解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x－x－1＝?x－?－，x∈[－1，3]， 633?3?所以当x＝ 34时，f(x)的最小值为－， 33 23 当x＝－1时，f(x)的最大值为. 3 222 (2)因为f(x)＝x＋2x·tan θ－1＝(x＋tan θ)－1－tanθ， 所以原函数的图像的对称轴方程为x＝－tan θ. 因为y＝f(x)在[－1，3]上是单调函数， 所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 4 即tan θ≥1或tan θ≤－3， ππππ 所以＋kπ≤θ<＋kπ或－＋kπ<θ≤－＋kπ， 4223k∈Z. ?ππ?又θ∈?－，?， ?22? π??ππ??π 所以θ的取值范围是?－，－?∪?，?. 3??42??2 5
优化方案高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数
