已知复数z的模为1，求z-2i模的最大值。
主要内容：
本文通过复数代数计算法、三角换元法、几何法及复数模有关性质法，介绍求复数|z-2i|在给定条件下|z|=1下的最大值。
解法一：代数计算法
设z=x+yi，则：x2
+y2
=12
，此时有： z-2i=x+yi-2i=x+(y-2)i,即： |z-2i|=x2
+(y-2)2, =x2
+y2
-4y+22, =12
-4y+22
, =5-4y。
∵|y|≤1，∴当y=-1时，有最大值: |z-bi|max=5+4=3。
解法二:三角计算法 设z=1(cosθ+isinθ),则： |z-2i|=(1cosθ) 2
+(1sinθ-2) 2
=12
cos2
θ+12
sin2
θ-4sinθ+22
=12
-4sinθ+22
，
当sinθ=-1时，有最大值，即： |z-2i|max=1+4+2=3。
y 解法三:几何法
对于|z|=1，表示的是以原点为圆心， 以1为半径圆上的点。
|z-2i|表示的是z与2i的距离。 O bi x 可知当z=-1i时，有最大值，即： |z-2i|max=|-1i-2i|=1+2=3。
解法四：模的性质应用 ∵|z-2i|≤|z|+|-2i|=1+2, ∴|z-2i|max=1+2=3.
解法五：运用模的性质 设z=x+yi,
∵|z-2i|=(z-2i)z-2i≤zz+(z-z)2i+2, ∴|z-2i|≤1+(z-z)i+2=1-4yi+2, 又因为|y|≤1，所以： |z-2i|max=1-4yi+2=(1+2), 即|z-2i|max=3.
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已知复数z的模为1,求z-2i模的最大值
