第5章 数列 第2讲
A组 基础关
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 D
解析 ∵an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＋2－Sn＝36?an＋2＋an＋1＝36?2n＋3＋2n＋1＝36?n＝8，故选D.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( ) A.
497 B．7 C．±7 D. 22
答案 B
7解析 由已知得S7＝＝a4＝7.
3．(2018·西安质检)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22 C．23 D．24 答案 C
2
解析 因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是等差数列，首项a1＝15，
32247－2n公差为－.所以an＝15－(n－1)＝.
333
47－2k47－2k＋1因为ak·ak＋1<0，所以·<0.
33可化为(2k－45)(2k－47)<0， 4547*
解得 22 4．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 答案 B 解析 由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项， 8×∴8a1＋8－1 ×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n2 a1＋a7 2 ＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中项为 a2＋a6 2 －1)d＝65＋7×17＝184.故选B. 5．(2018·岳阳模拟)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( ) 1 A．95 B．100 C．135 D．80 答案 B 解析 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100. 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为( ) A．18 B．19 C．20 D．21 答案 D 解析 由题意得S9＝9a5＝18，解得a5＝2，根据等差数列的性质得Sn＝ na1＋an2 ＝ na5＋an－4 2 ＝×(2＋30)＝336，解得n＝21. 2 nSn3n－2a7 7．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( ) Tn2n＋1b7 A. 3719394 B. C. D. 2714293 13 答案 A a1＋a13 2S133×13－237 ＝＝＝. b1＋b13T132×13＋1272 a72a7a1＋a13 解析 由题意得，＝＝＝ b72b7b1＋b1313 8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 答案 8 解析 根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大． 1 9．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ 2________. 答案 10 10092 解析 因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝， 210550502 则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10. 225 10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，－＝6，则S2018＝ 20142008________. 答案 6054 解析 由等差数列的性质可得??也为等差数列． ?n??Sn? S2014S2008 设其公差为d， 2 则 －＝6d＝6， 20142008 S2014S2008 ∴d＝1. 故 ＝＋2017d＝－2014＋2017＝3， 20181 B组 能力关 1．设{an}是等差数列，则以下三个命题： ①若a2016＋a2017<0，则a2017＋a2018<0； ②若a2016＋a2018>0，则a2016＋a2017>0； ③若0 解析 由①②不能判断数列{an}是递增数列还是递减数列，所以命题①②错误；由0 S2018S1 ∴S2018＝3×2018＝6054. a2016＋a20182a2016a2018 a2017＝>＝a2016a2018.故选B. 2 2 2．(2018·银川模拟)在等差数列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________． 答案 148 解析 设等差数列{an}的公差为d，则d＝ a6－a316－7 6－3 ＝3 ＝3，an＝7＋(n－3)d＝3n－2. 第10行从左到右第5个数是等差数列{an}中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即a50＝3×50－2＝148. 3．(2019·合肥三模)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若数列{Sn＋n}也是公差为d的等差数列，则an＝________. 15 答案 －1或n－ 24 解析 由题意得，Sn＝na1＋n(n－1) 2＝n＋?a1－?n. 2?2? dd2 ? d? 3 d?d?Sn＋n＝n2＋?a1－＋1?n. 2 ? 2 ? 因为数列{Sn＋n}也是公差为d的等差数列． 所以设 Sn＋n＝dn＋B. ??22* 于是n＋?a1－＋1?n＝(dn＋B)(n∈N)． 2?2? dd??因此?B＝0，da－??2＋1＝2dB， ＝d，2 2 21 d d＝0，?? 解得?B＝0， ??a1＝－1. ??或?B＝0， 3a＝－??4， d＝，1 12 15 所以an＝－1或an＝n－. 24 4．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)由(1)，得Sn＝n－8n＝(n－4)－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，得anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 6．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N)． (1)若数列{an}是等差数列，求a1的值； (2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 解 (1)解法一：∵数列{an}是等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3， 4 * 2 2 ∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3， 即2d＝4,2a1－d＝－3， 解得d＝2，a1 1＝－2. 解法二：在等差数列{an}中， 由an＋1＋an＝4n－3，得 an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1， ∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4， ∴d＝2. 又∵a1 1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－2. (2)由题意知，①当n为奇数时， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×n－1 2 2 ＝2n－3n＋52 . ②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) 2 ＝1＋9＋…＋(4n－7)＝2n－3n2 . ?2n2 －3n＋5 2 ，n为奇数，综上，Sn＝??2 ??2n－3n2，n为偶数. 5
2020版高考数学一轮复习第5章数列第2讲 等差数列及其前n项和 课后作业(理)(含解析)
