概率论与数理统计(复旦大学出版社)第3章习题详解
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正
面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表： Y 1 3
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表： Y 0 1 2 X X 0 0 1 81 1113C1g???322282 1121C3g???3/82223 0 1111???22280 0 0 0 0 P(0黑,2红,2白)= 1CgC/C? 352222471 0 2C1C1C263g2g?4C73521C1gCgC6322?4C7352 22C3gC23?4C7353 C3C123g2?4C735C3C123g2?4C735 2C3gC1C1122g2?4C73522C3gC23?4C735 0 2
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y??22?其他.?0,
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
πππ??0?x?,?y???463??内的概率.
ππ【解】如图P{0?X?π,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,)434636
ππππππ?singsin?singsin?sin0gsin?sin0gsin4346362?(3?1).4
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A；
3
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?其他.?0,
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由??????????????f(x,y)dxdy??0?0Ae-(3x?4y)dxdy?A?112
得 A=12
（2） 由定义，有
F(x,y)???f(u,v)dudv
yx????
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e????0,???0,y?0,x?0,其他
(3)
P{0?X?1,0?Y?2}12
?3?8?P{0?X?1,0?Y?2}??00?12e?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e )?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?其他.?0,（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故
R?18
4
（2） P{X?1,Y?3}???f(x,y)dydx
3 ???1k(6?x?y)dydx? 8813????1302(3)
P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdyD11.5
??(4)
P{X?Y?4}?X?Y?40dx?42127(6?x?y)dy?.832??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdyD224?x
??dx?0212(6?x?y)dy?.83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
?5e?5y,y?0,?其他.?0,
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
5
概率论与数理统计(复旦大学出版社)第3章习题详解
