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1、集合的概念
一、考试要求：
1. 理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系； 2. 掌握集合的表示方法. 二、知识要点：
1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“?”表示.常用到的数集有自然数集N（在自然数集排除0的集合记作N+ 或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
2. 集合中元素的特征:
①确定性:a∈A和a?A,二者必居其一; ②互异性:若a∈A,b∈A,则a≠b;
③无序性: {a，b}和{b，a}表示同一个集合.
3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法. 4. 集合的分类:
含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ.
5. 集合间的关系:用符号“?”或“?”、“”或“”、“=”表示.
子集:一般地,如果集合A的任一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A?B或B?A,读作A包含于B,或B包含A.即:A?B?x∈A?x∈B.
真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作AB或BA.
等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A等于集合B,记作A=B.即:A=B?A?B且B?A. 三、典型例题：
例1:数集A满足条件:若a∈A,则有
1?a1?a?A(a?1). (1) 已知2∈A,求证:在A中必定还有另外三个数,并求出这三个数; (2) 若a∈R,求证:A不可能时单元素集合.
例2:已知集合A={a，a+d，a+2d},B={a，aq，aq2},若a,d,q∈R且A=B,求q的值. 例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1) 若B?A,数a的值; (2) 若A?B,数a的值.
四、归纳小结：
1. 任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A.
2. 空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.
3. 对于集合A、B、C,如果A?B, B?C,则A?C; A=B?A?B且B?A. 4. 注意区别一些容易混淆的符号:
①∈与?的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ?是表示集合与集合之间的关系; ②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合; ③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合. 五、基础知识训练：
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（一）选择题：
1. 下列条件不能确定一个集合的是( )
A.小于100的质数的全体 B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体 C.充分接近3的所有实数的全体 D.身高不高于1.7m的人的全体
2. 设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( ) A.x∈M或x∈N B.x∈M且x∈N C.x∈M但x?N D.x?M但x∈N （二）填空题：
3. 已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若AB,则实数a的取值集合为 .
4. 已知非空集合M满足:M?{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件的集合M的个数是 . （三）解答题：
5. 已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.
(1) 若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素; (2) 若A中至多有一个元素,求a的取值围.
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2、集合的运算
一、考试要求：
理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算. 二、知识要点：
1. 交集:一般地,对于两个给定的集合A、B,由既属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A、B的交集,记作A∩B,读作A交B.即:A∩B?{x|x∈A且x∈B}.
2. 并集:一般地,对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A、B的并集,记作A∪B,读作A并B.即:A∪B?{x|x∈A或x∈B}.
3. 补集:一般地,如果集合A是全集U的一个子集,由U中的所有不属于A的元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作CUA.即:CUA= {x|x∈U且x?A}. 三、典型例题：
例1:已知集合A={1，3，- x3},B={1，x+2}.是否存在实数x,使得B∪(CUB)=A? 实数x若存在,求出集合A和B;若不存在,请说明理由.
例2:若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若A∩B=A∪B,求a的值;
(2)若ΦA∩B且A∩C=Φ,求a的值; (3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a的值. 四、归纳小结：
1. 交集的性质:A∩A=A;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B?A;A∩B?B;如果A?B,则A∩B=A. 2. 并集的性质:A∪A=A;A∪Φ=A;A∪B=B∪A;A?A∪B;B?A∪B;如果A?B,则A∪B=B.
3. 补集的性质: CAA=Φ; CA?=A; A∪CUA=U; A∩（CUA）=Φ;
5. 已知集合A={1，2，3，x},B={x2，3},且A∪B=A,试求x的值.
CU(CUA)?A; CU(A?B)=CUA∪CUB; CU(A?B)=CUA∩CUB.
五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 下列说确的是( )
A.任何一个集合A必有两个子集 B.任何一个集合A必有一个真子集
C.A为任一集合,它与B的交集是空集,则A,B中至少有一个是空集 D.若集合A与B的交集是全集,则A,B都是全集
2. 设全集为U,对任意子集合A,B,若AB,则下列集合为空集的是( ) A.A∩(CUB) B.(CUA)∩(CUB) C.(CUA)∩B D.A∩B
（二）填空题：
3. 设集合A={x|x+8＞0},B={x|x-3＜0},C={x|x2+5x-24＜0},(x∈R),则集合A、B、C的关系是 .
4. 设M={x|x2-2x+p=0},N={x|x2+qx+r=0},且M∩N={-3},M∪N={2，-3，5},则实数p= ,q= ,r= .
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3、充要条件
一、考试要求：
理解推出、充分条件、必要条件和充要条件. 二、知识要点：
1. ①如果p,则q(真命题);②p?q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件.-----------这四句话表述的是同一逻辑关系.
2. 充要条件:①p?q;②p是q的充要条件;③q当且仅当p;④p与q等价.-----------这四句话表述的是同一逻辑关系. 三、典型例题：
例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 四、归纳小结：
1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;“p且q”形式复合命题当p与q同时为真时为真,其它情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同时为假时为假,其它情况时为真.
2. 符号“?”叫作推断符号,符号“?”叫作等价符号. 五、基础知识训练：
1. 在下列命题中,是真命题的是( )
A.x＞y和|x|＞|y|互为充要条件 B.x＞y和x2＞y2互为充要条件
1111??a??b和4a＞3b互为充要条件 互为充要条件D.2234ab112. “a＜b＜0”是“?”成立的( )
abC.a2＞b2 (b≠0)和
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件 3. “A∩B=A”是“A=B”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件
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4、不等式的性质与证明
一、考试要求：
3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.
掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：
1. 实数大小的基本性质: a-b＞0?a＞b;
a-b =0?a =b; a-b＜0?a＜b.
2. 不等式的性质:
(1)传递性: 如果a＞b,b＞c,则a＞c;如果a＜b,b＜c,则a＜c; (2)加法法则:如果a＞b,则a+c＞b+c; 如果a＞b,则a-c＞b-c;
(3)乘法法则:如果a＞b,c＞0,则ac＞bc;如果a＞b,c＜0,则ac＜bc; (4)移项法则:如果a+b＞c,则a＞c-b;
(5)同向不等式的加法法则:如果a＞b且c＞d,则a+c＞b+d;如果a＜b且c＜d,则a+c＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a＞b＞0,且c＞d＞0,则ac＞bd. 3. 几个拓展的性质: a＞b＞0?an＞bn(n∈N,n＞1);
a＞b＞0?na＞nb(n∈N,n＞1); a＞b且c＞d ?a-d＞b-c;
a＞b＞0,且c＞d＞0?ad?bc; a＞b＞0(或0＞a＞b)?1a?1b;
4. 重要不等式:
(1) 整式形式: a2+b2≥2ab（a、b∈R）; (2) 根式形式:
a?b≥ab(a、b∈R+2); (3) 分式形式:ba?ab≥2（a、b同号）;
(4)
倒数形式:a?1a≥2（a∈R+）;
三、典型例题：
例1:已知a＞b,则不等式①a2＞b2;②
1a?1b;③11a?b?a中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
四、归纳小结：
1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.
2.不等式证明的常用方法:
(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差?变形?判断符号;
(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;
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五、基础知识训练： （一）选择题：
1.已知a＞b,c∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )
A.a+c＞b-c B.ac＞bc C.ac2＞bc2 D.a×2c＞b×2c 2.如果ab＞0且a＞b,则有( )
A.
1a＞1b B.1a＜1b C.a2＞b2 D.a2＜b2 （二）填空题：
3.以下四个不等式: ①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中使1a?1b成立的充分条件有 . 4.已知x＞0,函数y?2?3x?4x的最大值是 . 5.已知函数y?x2?2x,(x＞0),则y的最小值是 . - - -
5、一次不等式和不等式组的解法
一、考试要求：
熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：
1. 能直接表明未知数的取值围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.
2. 一次不等式ax＞b(a≠0)的解法:
bb},用区间表示为(,+∞);
aabb当a＜0时,解集是{xx?},用区间表示为(-∞,).
aa当a＞0时,解集是{xx?3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.
三、典型例题：
例1:解下列不等式(组):
?(x2?1)(x?3)?0(1) (x-3)(x-4)≥0. (2) ?.
3x?4?5x?6?2
四、归纳小结：
一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.
五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值围是( )
A.m＜-2 B.m≤-4 C.m＞-5 D.-5＜m≤-4 2. 已知方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m的取值围是( )
A.m＜?1111 B.m＞? C.m≥? D.m＞?且m≠0 4444（三）解答题：
解不等式(组): (1)
22(x-2)≤x- (2)55?x?1?0??2x?5?0?3x?6?0?- z -
江苏省对口单招数学复习教案
