实验六：泰勒展开式的计算
1、实验目的:
介绍使用Mathmatica进行泰勒展开的方法，从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论，着重对泰勒余项的误差分析，使学生理解展开位置x0和展开阶数n对计算误差的影响，研究泰勒展式的应用 2、实验指导:
一、 级数 1． 求和与求积
求有限或无穷和、积的函数是：
imax Sum[f，{i，imin，imax}] 求
?i?iminf(i)，其中imin
可以是-∞，imax可以是∞（即+∞），但是必须满足imin≤imax。基本输入模板中也有求和专用的符号，使用模板输入更方便。
Sum[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…] 求多重和，也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。
imax Product[f，{i，imin，imax}] 求
?i?iminf(i)，基本输入
模板中也有求积符号。
Product[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…] 求多重积 ，也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。
例1 求下列级数的和与积：
n?2 （1）?k，（2）
k?1?k?11k2?，（3）
?k?11k?1，（4）
?k?1ek2。
解：In[1]：=Sum[k^2，{k，1，n}] Out[1]=
16n(1?n)(1?2n)
? In[2]：=?1/k^2
k?1 Out[2]=
?26?
In[3]：=?1/k
k?1 Sum：：div：Sum does not converge.
? Out[3]=?k?11k
? In[4]：=?Exp[1/k^2]
k?1?2 Out[4]=e6
说明：上例中第三个级数发散，Mathematica给出提示，并在不能给出结果时将输入的式子作为输出。
NSum和NProduct得到数值解。
2． 将函数展开为幂级数
将函数展开为幂级数的函数调用格式如下：
Series[f，{x，x0，n}] 将函数f（x）在x0 处展成幂级数直到n次项为止。
Series[f，{x，x0，n}，{y，y0，m}] 将函数f（x，y）先对y后对x展开。
例2 展开下列函数为幂级数：
（1） y=tgx，（2） y?sinxx， （3）y = f（x），（4）y = exy。
解：In[1]：=Series[Tan[x]，{x，0，9}] Out[1]=x?x33?2x155?17x3157?62x92835?o[x]
10 In[2]：=Series[Sin[x] /x，{x，0，9}] Out[2]= 1?x26?x4120?x65040?x8362880?o[x]
10 In[3]：=Series[f[x]，{x，1，7}] Out[3]=f[1]?f?[1](x?1)?
124f(4)1212f??[1](x?1)?165f(3)[1](x?1)?3
[1](x?1)?4120f(7)(5)[1](x?1)?7
81720f(6)[1](x?1)?6f[1](x?1)5040?o[x?1]
In[4]：=Series[Exp[x y]，{x，0，3}，{y，0，2}]
?y23?2334??o[y]?x?o[y]x?o[x] Out[4]=1?(y?o[y])x?? ?2??3 说明：上例中In[3]表明也可以展开抽象的函数。
对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是：
Normal[expr] 将幂级数expr去掉余项转换成多项式。 SeriesCoefficient[expr，n] 找出幂级数expr的n次项系数。
例3 将y = arcsinx展开为幂级数，只取前9项并去掉余项。 解：In[1]：=Series[ArcSin[x]，{x，0，9}]
Out[1]= x?x36?3x540?5x7112?35x910?o[x]
1152 In[2]：=Normal[%] Out[2]= x?x36?3x540?5x7112?35x91152
In[3]：=SeriesCoefficient[%1，5] Out[3]=
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3． 傅里叶级数
求傅里叶级数就是求出傅里叶系数，傅里叶系数是一个积分表达式，所以利用积分函数Integrate就可以实现。
例如，设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E，周期为T，这种信号在一个周期[?T2，
T2]内的表达式为
|t|?|t|???E f(t)???0???2
2 求其傅里叶级数时，可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分，以下用Ee表示脉冲幅度，用tao表示脉冲宽度τ，根据傅利叶系数的积分表达式，输入以下语句：
a0= 2/T Integrate[Ee，
{t，-tao/2，tao/2}]
a[n_ ]=2/T Integrate[Ee Cos[2n Pi t/T]， {t，-tao/2，tao/2}]
b[n_ ]=2/T Integrate[Ee Sin[2n Pi t/T]， {t，-tao/2，tao/2}]
可得到下面三个输出，即分别是a0，an与bn，即 a0=
2E?T，an =
2En?sinn??T与bn=0
从而可写出给定的傅利叶级数为： f(t)?
E?T?2E???i?11n??2n??sincosnTT
3、实验任务:
1、展开下列函数为x幂级数，并求其收敛区间。
y?12(e?ex?x)；（2）y = cos2x；（3）y =（1 - x）ln（1 - x）
2、将函数
泰勒展开式的计算
