线性时滞系统稳定性分析综述
摘要：时滞在工程领域广泛存在，对此综述了线性时滞系统的稳定性研究方法。从频域和时域两个角度详细介绍了各种方法的特点，着重讨论基于线性矩阵不等式(LMI)的分析方法，指出保守性是分析的重点。对现有结果的保守性进行比较和评述，并提出了改进的思路。
关键词：时滞系统；稳定性；保守性，线性矩阵不等式；时滞依赖 Survey on the stability analysis
of linear time—delay systems
Abstract：As time-delays are extensively encounted in many fields of engineering,the stability analysis method of linear time-delay systems is outlined.The characters of frequency domain method and time domain method are illustrated in detail.The linear matrix inequality(LMI)-based stability analysis approach is mainly discussed.It is pointed out that the conservatism is important for the stability analysis.Comparison and discussion are given on some existing results.FinalIy,some improvement directions are discussed.
Key words：Time-delay systems；Stability；Conservatism；Linear matrix inequality；Delay-dependent
l引言
从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影响，即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于过去某一时刻或若干时刻的状态，这类系统称为时滞系统。时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量(复杂的在线分析仪)、长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程等都会产生时滞。时滞常见于电路、光学、神经网络、生物环境及医学、建筑结构、机械等领域，由于应用背景广泛，受到很多学者的关注。从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统是一个无穷维的系统，特征方程是超越方程，有无穷多个特征根，而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加按几何规律增长，这给系统的稳定性分
析和控制器设计带来了很大的困难。因此，对于时滞系统的控制问题，无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性。
常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时滞系统、中立型时滞系统和随机时滞系统等。其基本理论建立于20世纪五、六十年代，迄今为止，研究的成果相当丰富，本文作者限于水平及阅读范围，提到的只是极其有限的一部分结果。
2 时滞系统稳定性分析基本方法
从工程实践的角度来看，时滞的存在往往导致系统的性能指标下降，甚至使系统失去稳定性。例如系统
?(t)??0.5x(t) (1) x
是稳定的，但加入时滞项后，系统
?(t)??0.5x(t)?1.3x(t?1) (2) x2．3 泛函微分方程理论方法
泛函微分方程理论考虑了系统的过去对系统变化率的影响。利用有限维空间以及泛函空间提供一套适当的
数学结构以描述时滞系统的状态变化。
变得不稳定．同时，时滞也可以用来控制动力系统的行为，例如时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一。
通常用泛函微分方程来描述时滞系统，以含单时滞的微分方程为例，即
x?(t)?Ax?Bx(t?h),A,B?Rn?n,
x(t)??(t),??h,0? （3）
其中：h>0为时滞，初始条件由定义在[-h，0]的连续可微函数?(?)确定，系统t>0时的行为不仅依赖于0时刻的状态，而且与时间段[-h，0]内的运动有关，因此解空间是无穷维的。其特征方程是含有指数函数的超越方程，即
det(?I?A?exp(??h)B)?0 (4)
讨论特征根需要用到很多复变函数的知识.早在1942年，Pontryagin就提出了一种原则性方法—Pontryagin判据来解决这一问题，之后很多工作致力于对这一判据具体化，使之更加实用。
总之，时滞系统稳定性分析方法可分成3类。
2．1 无限维系统理论方法
这种方法是将时滞系统看成无穷维系统，用无穷维空间的适当算子来描述时滞系统的状态变化，一方面可对时滞系统进行一般建模；另一方面，也可表述系统的可观性和可控性等结构方面的概念。
2．2 代数系统理论方法
代数系统理论对于时滞系统的建模和分析都比较方便，但在控制器的设计方面目前尚处于初期阶段，还缺乏有效方法。
目前，研究时滞系统主要是应用泛函微分方程理论，研究范围涉及稳定性分析、控制器设计、H控制、无源与耗散控制、可靠控制、保成本控制、H滤波、Kalman滤波以及随机控制等。不管研究哪个分支，稳定性都是基础，对最终形成控制方案具有非常重要的理论和现实意义。时滞系统稳定性分析的目的是希望找到计算简单、切实有效并且保守性尽可能小的稳定性判据，研究方法主要分为两类：一类是以研究系统传递函数为主的频域方法；另一类是以研究系统状态方程为主的时域(状态空间)方法。
2．3．1 频域法
频域法是最早提出的稳定性分析方法，它基于超越特征方程根的分布或复Lyapunov矩阵函数方程的解来判别稳定性．类似于不包含时滞的线性系统，线性时滞系统稳定的充要条件是闭环特征方程的解均具有负实部．由于时滞系统闭环特征方程是一个具有无穷多解的超越方程，其稳定性分析比无时滞系统要复杂得多．但是利用频域法对系统进行分析具有直观易懂的特点，只要分析系统的特征根分布就可在一定程度上了解系统的稳定性和动态性能，并且计算量小、物理意义强，因此采用频域方法进行线性时滞系统稳定性分析，具有重要的理论意义和实际价值。
从频域角度出发，对系统进行稳定性分析的方法主要包括：图解法、解析法和复Lyapunov方法。
Nikiforuk于1965年提出一种简单的双轨迹法的图解方Mukherjee在此基础上探讨了控制环增益与系统前向通道中时滞之间的变化关系；最近，一个具有可公度时滞的线性系统稳定性的充要条件。Lee等将这一结果推广到中立型时滞系统。Agathoklis等进一步研究了具有不可公度滞后的线性系统，得到了稳定性的充分条件。
虽然频域法理论上容易得到系统稳定的充要条件，但在考虑控制器的运用双轨迹法进行时滞系统稳定性分析的文献还有很多。
利用解析法进行相关研究的文献包括：文献利用超越特征方程根的分布得到了稳定的充分条件。Thowsen通过引入适当的变换，将特征方程化为非超越的形式。得到了Routh—Hurwitz型稳定性判据。Watanabe等通过有限谱配置分析时滞系统的稳定性。文献基于Pontryagin判据提出了适用于准多项式H(s，e?s
)的Hermite-Biehler推广定理。Rekasius以时滞项的双线性变换为基础提出了
一种伪时滞法，在此基础上olgac证明了这种双线性变换的引入有助于准多 项式H(s，e?s
)的稳定性分析，并可用
来方便地估计闭环特征式的虚轴零点。walton提出了一种不需要引入双线性变换而能够删除准多项式中指数项的直接法。Zhang给出基于Lyapunov方程的线性时滞系统稳定条件，并建立了该条件与用于鲁棒性分析的小增益定理之间的等价关系。国内学者胥布工、俞元洪、刘和涛、张作元等也在这一领域进行了相关研究。 复Lyapunov方法是Repin于20世纪80年代首次提出的，其思想是利用复Lyapunov方程的正定Hermitian矩阵解进行稳定性分析。该想法被
Brierley等用来研究复Lyapunov方程正定Hermitian解的存在性，进而得到
设计时，由于涉及到系统特征方程的处理，计算非常复杂，特别是对于多变量高维系统、非线性微分系统或中立型系统．并且，频域法难于处理含有不确定项以及参数时变的时滞系统。
2．3．2 时域法
时域法是目前时滞系统稳定性分析和综合的主要方法，易于处理含有不确定项、时变参数和时变时滞的系统以及非线性时滞系统．时域法主要包括Lyapunov-Krasovskii泛函法、Lazumikhin函数法、Lyapunov函数结合Razumikhin型定理方法、时滞不等式方法。Lyapunov泛函法和
Razumikhin函数法，分别由
Krasovskii和Razumikhin于20世纪50年代末提出，是目前应用最广泛的两种方法．时滞不等式方法由Halanay建立于20世纪60年代，是非线性、脉冲、变时滞等复杂时滞系统稳定性分析的强有力工具。另外，通过估计方程的基本解矩阵也可得到稳定性条件，但该方法依赖于不等式技巧，得到的条件往往过于保守。下面重点介绍Lyapunov-Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法。
2．3．2．1 Razumikhin函数法
使用Razumikhin函数法，避免了构造Lyapunov泛函的麻烦，被许多学
线性时滞系统稳定性综述
