第一讲 第6课时
A．基础巩固
1．不等式|x＋1|－|x－5|＜4的解集为( ) A．(－∞，4) C．(4，＋∞)
B．(－∞，－4) D．(－4，＋∞)
【答案】A 【解析】当x≥5时，x＋1－x＋5＝6＞4，不等式无解；当－1＜x＜5时，x＋1＋x－5＜4，解得x＜4；当x≤－1时，－x－1＋x－5＜4恒成立．故不等式的解集是(－∞，4)．故选A．
2．实数x满足log3x＝1＋sin θ，则|x－1|＋|x－9|的值为( ) A．8 C．8或－8
B．－8 D．与θ有关
【答案】A 【解析】∵0≤1＋sin θ≤2，∴0≤log3x≤2，即1≤x≤9，∴|x－1|＋|x－9|＝x－1＋9－x＝8.故选A．
3．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( ) A．ab＝0 C．a＝b
B．a＋b＝0 D．a2＋b2＝0
【答案】D 【解析】若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，从而b＝0.f(－x)＝－f(x)，即－x|－x＋a|＝－x|x＋a|(x∈R)，所以|x－a|＝|x＋a|.平方得ax＝0，所以a＝0.当a＝0，b＝0时，f(x)＝x|x|显然是奇函数．
4．(2017年潍坊一模)若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0的解集为R，则实数m的取值范围为( )
A．(4，＋∞) C．(－∞，4)
B．[4，＋∞) D．(－∞，4]
【答案】A 【解析】不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0，|x＋1|＋|x－2|＞7－m，|x＋1|＋|x－2|的最小值是3，故3＞7－m恒成立，解得m＞4.故选A．
5．函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－2|－3)的定义域为________．
【答案】(－∞，0)∪(3，＋∞) 【解析】根据题意，知|x－1|＋|x－2|－3＞0.①当x＜1，
不等式即为1－x＋2－x－3＞0，解得x＜0，故x＜0；②当1≤x≤2，不等式即为x－1＋2－x－3＞0，即－2＞0不成立，故x∈?；③当x＞2，不等式即为x－1＋x－2－3＞0，解得x＞3，故x＞3.综上，函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－2|－3)的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝|x－a|＋a，g(x)＝4－x2，若存在x∈R使g(x)≥f(x)，则a的取值范围是____________．
?－∞，17? 【解析】【答案】若存在x∈R使g(x)≥f(x)，即x2＋|x－a|＋a－4≤0有解．当8??
x≥a时，x2＋x－4≤0，显然有解；当x＜a时，x2－x＋2a－4≤0，由Δ＝1－4(2a－4)≥0，解1717
－∞，?. 得a≤.故a的取值范围为?8??8
7．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x＜－1，
??
【解析】(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝?2x－1，－1≤x≤2，
??3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解．
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得2x－1≥1，解得1≤x≤2. 当x＞2时，由f(x)≥1得x＞2. ∴f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，
355
|x|－?2＋≤， 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－?2?44?35
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 245
－∞，?. ∴m的取值范围为?4??
B．能力提升
8．(2017年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
1
【解析】(1)当a＝1时，f(x)开口向下，对称轴为x＝.
22x，x＞1，??
g(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝?2，－1≤x≤1，
??－2x，x＜－1.当x＞1
时，令－x2＋x＋4＝2x，解得
17－1
x＝. 2
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)≥g(x)解集为?1，
??17－1?
?. 2?当－1≤x≤1时，g(x)＝2，f(x)≥f(－1)＝2.
当x＜－1时，g(x)单调递减，f(x)单调递增且g(－1)＝f(－1)＝2， ∴f(x)＜2＜g(x)．
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为?－1，??17－1?
?. 2?
(2)依题意得－x2＋ax＋4≥2在[－1,1]上恒成立， 即x2－ax－2≤0在[－1,1]上恒成立，
2?1－2≤0，?1－a·
则只须?解得－1≤a≤1.
2
??－1?－a?－1?－2≤0，?
∴a的取值范围是[－1,1]．
2019-2020学年数学人教A版选修4-5提能训练：第1讲 第6课时绝对值不等式的解法（二）
