二次函数动点探究题赏析
二次函数是初中数学的重要内容Z—,而数学探究又是数学教育改革的新亮点,因此二 次两数探究题便成了各地中考命题的热点,命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题 用以考查同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力.现仅就中考题有关二次函数 动点探究题精选两例解析如下,供同学们鉴赏:
例1如图,等腰梯形ABCD中,AB=4, CZ>9, ZC=60°,动点P从点C出发沿CD 方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿D4方向向终点A运动,其中一 个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1) 求4D的长;
(2) 设cr,问当兀为何值吋△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;
(3) 探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点
并求出的长;不存在,请说明理由.
分析 ⑴过点A作AE〃BC交CD于点E,证Z\\AED为 等边三角形,则AD可求;
P
卩
野 -------------- S
(2) 将APOQ的边PD及PD边上的高/z用含兀的代数式
表示,则APDO的面积可表示为x的二次函数,根据二次函数的
于点M,则点M为所求,然后再证四边形PDQM为菱形.
解:(1)如图1,过点A作AE//BC交CD于点E,则CE=AB=4 . 极值可求得APDQ面积的最大值;
(3) 先假设四边形PDQM为菱形,则PD=DQ从而求得点Q,过点Q作QM〃DC交BC ZAED=ZC=60°.又 VZZ>ZC=60°,
A /\\AED是等边三角形.???AD=DE=9~4=5 . (2)如图 2, DQ=CP=x,/z 为 PD 边上的高,ZD=60°,
D A /\\PDQ的面积S i J表示为:
S=- PDh =-(9-xy — x = — (9x-x2)
???当尸?时(满足0尿
由题意,知0仝5?
5)
2
2 2
2 4
16
(3)如图3,假设存在满足条件的点M,则PD必须等于QQ.
9 于是9~x=Xr x=— .RiJ点P为CD的屮点.
2
此时,点P、Q的位置如图3所示, 连QP . ZD=60°,则△PQQ为等边三角形. 过点Q作QM//DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,则CP=PD=DQ=CM, ZC=60°,则Z\\CPM也是等边三
角形.
A ZD=Z3 =60°. :.MP//QD, 二四边形PDQM是平行四边形.
又PD=DQ .???四边形PDQM是菱形.
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所以存在满足条件的点M,且BM=BC—MC=5—一一.
2 2
例2如图,已知抛物线经过原点O和兀轴上另一点A,它的对称轴尸2与兀轴交于点
C,直线尸?力?1经过抛物线上一点B(?2戶),且与),轴、直线尸2分別交于点D、E.
(1)求加的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:①CB=CE ;②D是BE的中点;
(3)若P(x, y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得若存在, 试求出
所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
分析⑴由点在直线y = -2x-l上,可求得加的值及
点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2) 通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,
过点3作BG//X轴,与),轴交于F、直线尸2交于G,过点E 作EH//x轴,交y轴于由厶DFB竺ADHE,证得Q是BE的中点;
(3) 若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P 乂在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解 即为所求点的坐标.
解:(1)?.?点 B(?2,m)在直线 y = 一2兀一 1 上,m=-2x(-2)-l=3. /. B(?2,3) ???抛物线经过原点0和点A,对称轴为尸2,
???点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为)r=a(x-0)(x-4). 将点3(?2,3)代入上式,得3=°(?2?0)(?2?4),???a =丄.
4 ???所求的抛物线对应的函数关系式为y = ix(x-4)f即y = lx2-x.
4 「 4
(2)①直线y=-2x-l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为0(0,-1) £(2,-5).
过点B作BG//X轴,与y轴交于F、直线尸2交于G,则点G坐标为(2,3)
BG丄直线尸2, BG=4.在皿BGC 中,BC=VcG + BG = ^32 +42 = 5 .
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J CE=5,??? CB=CE=5.
②过点E作EH〃兀轴,交),轴于则点H的坐标为H(0,?5). 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-l),
??? FD=DH=4, BF=EH=2,上 BFD=ZEHD=90。. :./XDFB^/XDHE (SAS) , BD=DE. 即 D 是 BE 的中点. (3)由于PB=PE,;?点户必在线段BE的中垂线CD上,
又点P在抛物线尸丄兀2一兀上,
-4
???符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD対应的函数关系式为y=kx+b.将点D(0,-l) C(2,0)代入,