§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换
态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比
取平面直角坐标系OX1X2其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为e1,e2,见图
其标积可写成下面的形式
????(ei,ej)??ij(i,j?1,2)
我们将其称之为基矢的正交归一关系。
?平面上的任一矢量A可以写为
???A?A1e1?A2e2
????其中A1?(e1,A)，A2?(e2,A)称为投影分量。 ??而A?(A1,A2)称为A在坐标系OX1X2中的表示。
现在将坐标系OX1X2沿垂直于自身面的轴顺时针转?角度，则单位基矢变为e1',e2'，且同样有
????(ei',ej')??ij(i,j?1,2)
?而平面上的任一矢量A此时可以写为 ???A?A1'e1'?A2'e2'
????其中投影分量是A1'?(e1',A)，A2'?(e2',A)。 ??而A?(A1',A2')称为A在坐标系OX1'X2'中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？
?????显然，A?A1'e1'?A2'e2'?A1e1?A2e2。
1
用e1'、e2'分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有
??????A1'?A1(e1',e1)?A2(e1',e2) ????A2'?A1(e2',e1)?A2(e2',e2)
表成矩阵的形式为
?????A1'??(e1',e1)(e1',e2)??A1???? ??????A'?????(e????2??2',e1)(e2',e2)??A2?由于e1'、e1及e2'、e2的夹角为?，显然有
?????????A1'??(e1',e1)(e1',e2)??A1??????????A'?????(e????2??2',e1)(e2',e2)??A2?
?cos??sin???A1????sin?cos?????A?????2?或记为
?A1'??A1????A'??R(?)??A?? ?2??2?其中
?cos?R(?)???sin????sin??? cos????A1'??A1???和?联系起来????A2'??A2?是把A在两坐标中的表示??的变换矩阵。
变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。
很容易证明，R 具有下述性质：
~~RR?RR?I
2由于det(RR)?(detR)?1,
~其中det(R)??(?1)R1p1R2p2R3p3?， 故称这种矩阵为正交矩阵。
但detR?1（对应于真转动（proper rotation））且R?R（实矩阵）
2
*t~?R??R*?R?R?1
?RR??R?R?I
我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 到现在为止，我们介绍了三种矩阵： 厄米矩阵：R?R??R* 正交矩阵：RR?RR?I 幺正矩阵：RR??R?R?I
这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。 （2）量子力学中的表象
形式上与上述类似，在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态?可以看成Hilbert空间的一个“矢量”。
体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系?k（k 代表一组完备量子数）构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F 表象。
同样
~~~(?k,?j)??kj
对于任意态矢量?，有
???ak?k
k其中
ak?(?k,?)
（a1,a2,?）这一组系数就是态（矢）在F表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。
与代数不同的是：
①这里的“矢量”（量子态）是复数； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。
现在考虑同一个态?在另一组力学量完全集F' (表象F')中的表示。 设本征态为??'，满足正交归一，即
(??',??')????
3
态?用这组态矢展开，即
???a??'?'
?（a1',a2',?）其展开系数为a?'?(??',?)，则这一组系数就是态?在F'表象中的表
示。
（a1,a2,?）?（a1',a2',?）那么 ？
方法同前述。 因为显然??a??'?'??a???kkkk，对后一等式用?*?'作内积，有
a?'??（??'，?k）ak??S?kak
k（??'，?k）其中S?k?是F'表象基矢与F表象基矢的内积。
上式也可以写成矩阵的形式：
?a1'????S11?a2'???????S21?????a?'??????????简记为a'?Sa
?a?S12????1???a2?S22?????? ????????ak???????????通过S 矩阵相联系，且SS?SS?I，
即S 矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 例 试证明： S 矩阵是幺正矩阵 [分析]只要证明SS的矩阵元是?kj即可。 在F表象中，有
*(S?S)kj??Sk??S?j??S?kS?j
?????根据S 矩阵元的定义，上式为
?*???*(S?S)kj???d3r??'(r)?k(r)??d3r'??'(r')?j(r')??*????dr?dr'???'(r')??'(r)?k(r)?j(r')33*?
?利用前面的介绍，?函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即
4
*?(x?x')???n(x')?n(x)
n则上式
??*??(S?S)kj??d3r?d3r'?(r?r')?k(r)?j(r')??kj可见，SS矩阵为单位矩阵，即SS?I。 2、力学量算符的矩阵表示 仍以线性空间的矢量作类比
?
???A?B（正向转动θ角）
已经知道：
????A?A1e1?A2e2?A?(A1,A2) ????B?B1e1?B2e2?B?(B1,B2) ??令B?R(?)A，写成分量的形式，有
????B1e1?B2e2?A1Re1?A2Re2
用e1、e2对上式点乘，得
??????B1?A1(e1，Re1)?A2(e1，Re2) ????B2?A1(e2，Re1)?A2(e2，Re2)
即
?????B1??(e1，Re1)(e1，Re2)??A1????????B?????(e???A?? ，Re)(e，Re)122??2??2??2按照右下图，有
?????B1??(e1，Re1)(e1，Re2)??A1??????????B?????(e????2??2，Re1)(e2，Re2)??A2??cos??sin???A1? ???sin?cos?????A?????2??A1??R(?)??A???2? 5
量子力学的矩阵形式和表象变换
