2010高考数学二轮复习（17）推理与证明学案
推理与证明
【学法导航】
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点。
解答推理问题时，先明确出是哪种推理形式，显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言学生比较为陌生. 所以复习类比推理时应抓住两点：一是找出合理的类比对象，二是找出类比对象，再进一步找出两类事物间的相似性或一致性. 解答证明题时，要注意是采用直接证明还是间接证明。在解决直接证明题时，综合法和分析法往往可以结合起来使用。综合法的使用是“由因索果”，分析法证明问题是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此使用时往往联合使用。分析法要注意叙述的形式：要证A，只要证明B，B应是A成立的充分条件。
复习反证法时，注意：一是“否定结论”部分，把握住结论的“反”是什么？ 二是“导出矛盾”部分，矛盾有时是与已知条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾，因此要弄明白究竟是与什么矛盾.
对于 些难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，宜选用反证法。
【专题综合】
推理是数学的基本思维过程,高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力,因此本部分内容在高中数学中占有重要地位,是高考的重要内容.由于解答高考试题的过程就是推理的过程,因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.在复习时,应注意理解常用的推理的方法,了解其含义,掌握其过程以解决具体问题.因此2007年、2008年山东卷、广东卷、海南、宁夏卷没有单独考查此内容也在情理之中。2009年的高考题中只有江苏卷、福建卷、浙江卷的高考试题中出现了合情推理与演绎推理的试题。但是，今后的高考中考查推理内容,最有可能把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种 合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的.
1.与数列结合考察推理 例1（09浙江文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，
T16成等比数列． T12答案．
T8T12, T4T8【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列
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的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力
【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，成等比数列．
2.与解析几何集合考察推理
例2（03年上海）已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在时，则kPMkPN是与点P位置无关的定值，
T8T12T16,，T4T8T12x2y2试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质。
abb2答案:?2.
a3.与立体几何结合考察推理
例3在?DEF中有余弦定理：DE?DF?EF?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
222分析 根据类比猜想得出SAA?S?SABB1A1BCC1B1?2SABB1A1?SBCC1B1cos?. 1C1C222其中?为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱ABC?A1B1C1的直截面DEF，则?DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角，在?DEF中有余弦定理：DE?DF?EF?2DF?EFcos??，
同乘以AA1，得DE?AA1?DF?AA1?EF?AA1?2DF?AA1?EF?AA1cos?? 即 SAA1C1C?SABB1A1?SBCC1B1?2SABB1A1?SBCC1B1cos?
【变式】类比正弦定理：如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B2222222222222—CC1—A所成的二面角分别为?、?、?，则有
SBB1C1Csin??SAA1C1Csin??SBB1C1Csin?
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C 1 A1 N C A B P M B 1
证明：作平面DEF与三棱柱ABC-A1B1C1侧棱垂直，分别交侧棱AA1，BB1 ，CC1于点D，E，
F，则?EDF=?，?DEF??，?DFE??，
在?DEF中，根据正弦定理得
EF?AA1DF?AA1DE?AA1EFDFDE????，即 sin?sin?sin?sin?sin?sin?SBB1C1C而AA1?BB1?CC1，且AA1?BB1?CC1，因此
sin??SAA1C1Csin??SBB1C1Csin?．
例4(2007广东理)如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共
n(n?1)2有 __ 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝ 12 ; f(n)＝
n(n?2)(n?1)2 .（答案用数字或n的解析式表示）
4构造数表考察推理
例5（2007湖南理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 2?1 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……………………………………… 图1 5.实际问题
例6(2007年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设A?B的件数为x1(规定:当
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x1?0时,则B调整了|x1|件给A,下同!),B?C的件数为x2,C?D的件数为x3,D?A的件数为x4,依题意可得
x4?50?x1?40,x1?50?x2?45,x2?50?x3?54,x3?50?x4?61,从而
x2?x1?5,x3?x1?1,x4?x1?10,故调动件次f(x1)?|x1|?|x1?5|?|x1?1|?|x1?10|,
画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C). 【答案】:C
5.与其他章节知识结合考察证明
例7(2008年海南宁夏21)设函数f(x)?ax?1(a，b?Z)，曲线y?f(x)在点x?b(2，f(2))处的切线方程为y=3．
（1）求f(x)的解析式：
（2）证明：函数y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 解：（1）f?(x)?a?1，
(x?b)21?9?2a??1，a?，??a?1，?2?b??4于是?解得?或? 18b??1，?a??b??.?0，?2??3??(2?b)1． x?11（2）证明：已知函数y1?x，y2?都是奇函数．
x1所以函数g(x)?x?也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而
x1可知，函数g(x)的图像按向量a?(11)即得到函数f(x)，平移，f(x)?x?1??1．
x?1因a，b?Z，故f(x)?x?，为中心的中心对称图形． 的图像，故函数f(x)的图像是以点(11)（3）证明：在曲线上任取一点?x0，x0???1??． x0?1?4 / 9
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由f?(x0)?1?1知，过此点的切线方程为
(x0?1)22x0?x0?1?1?y???1?(x?x0)． 2?x0?1?(x0?1)??x0?1?x0?1令x?1得y?，切线与直线x?1交点为?1，?．
x0?1x?1?0?2x0?1)． 令y?x得y?2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1，直线x?1与直线y?x的交点为(11)，．
从而所围三角形的面积为
1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2．
2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2．
6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题
例8(2009山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值；
?（11）当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N)
?x证明：对任意的n?N ，不等式
?b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bnx?解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图
像上.所以得
Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2nn?1nn?1n?1时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)b,又因为{an}为等比数列,所n?1以r??1,公比为b,an?(b?1)b
n?1n?1n?1（2）当b=2时，an?(b?1)b?2, bn?2(log2an?1)?2(log22?1)?2n
则
bn?12n?1b?1357b?1b2?1?·······n???,所以1bn2nb1b2bn2462n?1 2n2n?1?n?1成立. 2n下面用数学归纳法证明不等式
b?1357b1?1b2?1·······n???b1b2bn2465 / 9
高考数学二轮复习(17)推理与证明学案
