备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）
专题09数列A辑
历年联赛真题汇编
1．【2006高中数学联赛（第01试）】数码??1,??2,??3,?,??2006中有奇数个9的2007位十进制数2??1??2??3???2006的个数为( )
A．(102006+82006)
21
B．(102006?82006)
2
1
C．102006+82006 【答案】B
D．102006?82006
200513【解析】出现奇数个9的十进制数个数有??=??200692005+??200692003+?+??20069，
又由于(9+1)
2006
=∑
2006??=0
C??2006
9
2006???
以及(9?1)
2006
=∑
2006??=0
??2006???
C??， 2006(?1)9
20052003
从而得??=C1+C3+?+C2005200692006920069
=(102006?82006).
2
1
故选B.
2．【2003高中数学联赛（第01试）】删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是( ) A．2046 【答案】C
【解析】解法一注意到452=2025,462=2116，所以2026=??2026?45=??1981,2115=??2115?45=??2070， 而且从第1981项到2070项之间的90项中没有完全平方数. 又1981+22=2003，所以??2003=??1981+22=2026+22=2048. 故选C.
解法二将所得新数列按照第k组含有2k个数的规则分组：(2,3),(5,6,7,8),(10,11,12,13,14,15),?， 设新数列的第2003项位于第n组，则有2+4+6+?+2???2003， 即??(??+1)?2003，得???44，
故新数列的第2003项为44×45+45+23=2048.
3．【1999高中数学联赛（第01试）】给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设??1=??1+??2+??3，??2=??4+??5+??6,?，????=??3???2+??3???1+??3??，则数列{bn}( ) A．是等差数列
B．是公比为q的等比数列
1 / 2
B．2047 C．2048 D．2049
C．是公比为q3的等比数列 【答案】C
【解析】由题意????=??1?????1有
D．既非等差数列也非等比数列
????+1????
=
??3??+1+??3??+2+??3??+3??3???2+??3???1+??3??
=
??1??3??+??1??3??+1+??1??3??+2??1??3???3+??1??3???2+??1??3???1=??3.
所以{bn}是公比为q3的等比数列.
4．【1998高中数学联赛（第01试）】各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若??10=10,??30=70，则S
40等于(
)
B．?200
C．150或－200
D．400或－50
A．150 【答案】A
【解析】记??1=??10,??2=??20???10，??3=??30???20,??4=??40???30， 设q为{an}的公比，则??1,??2,??3,??4构成以??=??10为公比的等比数列. 于是70=??10=??1+??2+??3=??1(1+??+??2)=10(1+??+??2)， 所以??2+???6=0，则r=2(因为??=??10>0，所以r=－3应舍去). 故??40=10(1+2+22+23)=150.
5．【1998高中数学联赛（第01试）】设命题P：关于x的不等式??1??2+??1??+??1>0与??2??2+??2??+??2>0的解集相同；命题??:
??1??2
=
??1??2
=
??1??2
.则命题Q( )
A．是命题P的充分必要条件
B．是命题P的充分条件但不是必要条件 C．是命题P的必要条件但不是充分条件
D．既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 【答案】D
【解析】例如??2?3??+2>0与???2+3???2>0的解集不同，从而排除A，B； 又如??2+??+1>0与??2+??+3>0解集相同，从而排除C．
6．【1997高中数学联赛（第01试）】已知数列{xn}满足????+1=??????????1(n≥2)，x1=a，x2=b，记????=??1+??2+?+????，则下列结论正确的是( ) A．??100=???,??100=2????? C．??100=???,??100=????? 【答案】A
【解析】经计算知数列{xn}的前几项是a，b，b－a，???,???,?????,??,??,?????,???,???,?????,?, 由此看出即{xn}是周期为6的数列.所以??100=??6×16+4=??4=???.
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B．??100=???,??100=2?????
D．??100=???,??100=?????
又??6??+1+??6??+2+??6??+3+??6??+4+??6??+5+??6??+6=??1+??2+??3+??4+??5+??6 =??+??+(?????)+(???)+(???)+(?????)=0.
所以??100=??6×16+4=??4=??+??+(?????)+(???)=2?????.
7．【1997高中数学联赛（第01试）】设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97
2
，则这样的数列共有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C
【解析】设等差数列的首项为a，公差为d，则依题意有????+即[2??+(???1)??]??=2×972
①
??(???1)2
??=972，
即n为不小于3的自然数，97为素数，数n的值只可能为97,2×97,972,2×972四者之一. 若d>0，则由式①知2×972???(???1)?????(???1)，
故只可能有n=97，式①化为??+48??=97，这时式①有两组解： ??=97??=97
{??=1或{??=2 .
??=49??=1
若d=0，则式①化为????=972，这时式①有两组解： ??=97??=972{??=0 或{??=0 . ??=97??=1
故符合题设条件的等差数列共有4个.
8．【1996高中数学联赛（第01试）】等比数列{an}的首项a1=1536，公比是??=?.用????表示它的前n项之积，
21
则????(n∈N)最大的是( ) A．??9
B．??11
C．??12
D．??13
【答案】C
【解析】等比数列{an}的通项公式????=1536×(?)
21???1
，前n项的积????=1536??×(?)
2
1
??(???1)
2.
易见??9,??12,??13为正数，??10,??11为负数，故只要比较??9,??12,??13. 首先考虑正负情况，显然??9,??12,??13为正数.
而??10=1536×(?)=?3，??11=??10?(?)=，
2
2
2
19
1
3
??12=??11?(?)=?，??13=??12?(?)=，
2
4
2
8
1313
且??10???11???12=(?3)()(?)=
2
4
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>1.
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专题09数列A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
