3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点) 2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 变化率问题
阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题. 函数的变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 Δyf(1)定义式：＝Δxx2－fx1
.
x2－x1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( ) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )
Δy(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( ) Δx【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 导数的概念
阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题. 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim
Δx→0
Δyf＝lim ΔxΔx→0
x0＋Δx－fx0
. Δx(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值. (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f(x)在x＝x0处的导数
1
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|
Δyfx0＋Δx－f，即f′(x0)＝lim ＝lim
ΔxΔx→0ΔxΔx→0x＝x0
x0
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零.( ) (4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
[小组合作型]
2平均变化率 (1)函数y＝f(x)＝3x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为______，当
x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________.
(2)已知函数f(x)＝－x＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2Δy＋Δy)，则＝________.
Δx【自主解答】 (1)函数y＝f(x)＝3x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
2
2
fx0＋Δx－fx0
x0＋Δx－x0
＝
x0＋Δx2
＋2]－Δx2
x20＋
6x0·Δx＋Δx＝
Δx＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数y＝3x＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)＋(－1＋Δx)－[－(－1)＋(－1)] ＝－(Δx)＋3Δx， Δy－∴＝Δx
2
2
2
2
Δx＋3Δx Δx2
2
＝－Δx＋3.
【答案】 (1)6x0＋3Δx 12.3 (2)－Δx＋3
求平均变化率的主要步骤
1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). 2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. Δyf3.得平均变化率＝Δxx2－fx1
. x2－x1
[再练一题]
12
1.求函数f(x)＝x在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，在哪一点附近平均3变化率最大？
【导学号：97792034】
【解】 在x＝1附近的平均变化率为：
k1＝
f＋Δx－fΔx＝＋ΔxΔx2
－1
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为：
k2＝
f＋Δx－fΔx＝＋Δx－2
＝4＋Δx；
Δx22
在x＝3附近的平均变化率为：
k3＝
f＋Δx－fΔx＝＋Δx－3
＝6＋Δx.
Δx22
1
若Δx＝，
3
17113
则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，
3333
k3＝6＋＝.
由于k1＜k2＜k3，
故在x＝3附近的平均变化率最大.
13193
?t－?29＋
若一物体的运动方程为s＝?2
??3t＋2，t≥3
2
求瞬时速度 ，0≤t<3，
(路程单位：m，时间单位：s).求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
3
2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案
