中值定理证明题
1. 设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)?f(2a)，证明在[0,a]上存在?使得 f(a??)?f(?).
【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0
【证明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且 G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)
G(0)?f(a)?f(0)
当f(a)?f(0)时，取??0，即有f(a??)?f(?)；
当f(a)?f(0)时，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，
G(?)?0，即f(a??)?f(?)．
1?2t?0?tsin2. 试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)??在[0,x]上应用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：
1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f?(?)?2?sin?cos (0???x)
x?0x?0x?? 即：cos1??2?sin1??xsin1 (0???x) x1?0 limxsin?x?0??0， 因0???x，故当x?0时，由lim?2?sin??0?1?0 xcos 得：lim?x?01??0，即lim?cos??01??0
解：我们已经知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理过程错误。
首先应注意：上面应用拉格朗日中值的?是个中值点，是由f和区间[0,x]的
端点而定的，具体地说，?与x有关系，是依赖于x的，当x?0时，?不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使lim?cosx?01??0成
立，而lim?cos??01??0中要求?是连续地趋于零。故由limcos?x?01??0推不出
??0lim?cos1??0
3.设f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)?f(b)?A,试证明f/(x)在
(a,b)内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。
f(x)?f(a)证明：∵f??(a)?lim?0，由极限的保号性知，
x?a?x?ab-af(x)?f(a)???(a,δ1)（不妨设δ1?），对于?x???(a,δ1)，均有?0，
2x?a特别地，?x1???(a,δ1)，使得
f(x1)?f(a)?0，∴得f(x1)?f(a)?A；
x1?af(x2)?f(b)b-a），使得?0， 2x2?b同理，由f??(b)?0,得?x2???(b,δ2)（δ2?从而得f(x2)?f(b)?A；
又∵f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ?(x1,x2)使得
f(ξ)?A；
∵f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且f(a)?f(ξ)?f(b)?A， ∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1?(a,ξ)、ξ2?(ξ,b)，使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?0，结论成立。
4.设函数y?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数，且
f(0)?f?(0)?L?f(n?1)(0)?0,试用柯西中值定理证明：
f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。
n!xn知识点：柯西中值定理。
思路：对f(x)、g(x)?xn在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵f(x)、g(x)?xn及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导， 且在(0,x)每一点处，g(n?1)(x)?n!x?0，又f(0)?f?(0)?L?f(n?1)(0)?0,， ∴连续使用n次柯西中值定理得，
f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(0)f(x)f(x)?f(0)f?(?1)f?(ξ1)?f?(0) ?n???L?xnx?g(0)n?1n?1nξ1n?1?g?(0)n!ξn?1?g(n?1)(0)f(n)(θx)?(0?θ?1)，从而结论成立。
n!
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