第十四讲 立体几何选择填空压轴题专练
A组
一、选择题 1．如图，矩形ABCD中， AB?2AD， E为边AB的中点，将?ADE沿直线DE翻转成?A1DE（A1?平面ABCD）．若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在?ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直 B. 异面直线BM与A1E所成角是定值 C. 一定存在某个位置，使DE?MO
D. 三棱锥A1?ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值 【答案】C
【解析】取CD的中点F，连BF,MF,如下图：
可知面MBF// A1DE,所以A对。
取A1D中点G,可知EG//BM，如下图，可知B对。
1
点A关于直线DE的对为F,则DE?面A1AF，即过O与DE垂直的直线在平面A1AF上。故C错。
三棱锥A1?ADE外接球的球心即为O点，所以外接球半径为
2AD。故D对。选C 22．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h?（ ）
A．3 B．3 C．33 D．53 2【答案】B 【解析】
由三视图可知该几何体是三棱锥，其中底面是矩形，边长为6，5，高为h，所以体积
1V??5?6?h?103?h?3 33．如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A．｜BM｜是定值 B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1 C D．存在某个位置，使MB//平面A1DE 【答案】C 【解析】
2
取CD中点F，连接MF，BF，则MF//A1D且MF=
1A1D,FB//ED 且FB=ED所以2?MFB??A1DE，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF?FB?cos∠MFB是定值，所以 M是
在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确．由MF//A1D与 FB//ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．故答案为：①②④．
4．如图，正四面体D?ABC的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox， Oy，
Oz上，则在下列命题中，错误的是( ) A. O?ABC是正三棱锥
B. 直线OB与平面ACD相交
C. 直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为
3 2D. 异面直线AB和CD所成角是90? 【答案】C
【解析】①如图ABCD为正四面体， ∴△ABC为等边三角形， 又∵OA、OB、OC两两垂直， ∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N， 连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM， ∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点， ∴N为底面△ABC中心，
∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行． 则B正确，
③由上图知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为6,则C错误 3④异面直线AB和CD所成角是90?，故D正确. 二、填空题 5．（2017全国1卷理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
3
【答案】415 133【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则OG??x?x.
326?FG?SG?5?3x， 622??3??3?3?SO?h?SG2?GO2??5?x?x?55? ????????6??? 63???????三棱锥的体积V??1133?15354?5x?x. S?ABC?h???5?5?x ???1233343??35534x，则n'?x??20x3?x， 33x43令n'?x??0，4x??0 ，x?43，
3令b?x??5x4?Vmax?75?48?5?4?415. 12
6．已知求的直径SC?4,A,B是该球球面上的点， AB?2,?ASC??BSC?45，则棱锥S?ABC 的体积为__________． 【答案】043 3BS?C0??【解析】设球心为O,因为?ASC5以SC?面OAB, ,4所
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143V?VS?OAB?VC?OAB??3?4?.
337．在三棱锥S?ABC中， ?ABC是边长为3的等边三角形， SA?3,SB?23，二面角S?AB?C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】21?
【解析】由题可得：球心O在过底面?ABC的中心G的垂直底面的直线上，又二面角
取AB的中点为M，SB的中点为N，故?NMG?120?,S?AB?C的大小为120°，又?NMG?120?NM?33333,CM??MG?,NG?,过M做MH=GO，且222233MH垂直底面，所以MH?， GO?,故球的半径为R2?22所以球的表面积为21?
??21?3?3????,
4?2?228．已知两平行平面?、?间的距离为23，点A、B??，点C、D??，且
AB?4,CD?3，若异面直线AB与CD所成角为60°，则四面体ABCD的体积为
__________．
【答案】6
【解析】设平面
ABC与平面?交线为
CE，取CE?,则A BAB//CE,CE?4,?ECD?600
11VA?BCD?VA?CDE??23??4?3?sin600?6.
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9．在空间直角坐标系O?xyz中，四面体A?BCD在xOy,yOz,zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．
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高考数学培优专题库教师版 第14讲立体几何选择填空压轴题专练
