学而不思则惘，思而不学则殆
专题 曲线运动
一、运动的合成和分解
【题型总结】
1．合力与轨迹的关系
如图所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从A到E，则下列说法中正确的是( ) A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90° C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小 2．运动的合成和分解
例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m／s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m／s时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（ ） A. 7m/s B. 6m／s C. 5m／s D. 4 m／s 3．绳（杆）拉物类问题
例：如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？
练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为vA,vB，则（ ）
A、vA?vB B、vA?vB C、vA?vB D、重物B的速度逐渐增大
4．渡河问题
例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2,战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）
(A) (B) (C) (D)
m M 【巩固练习】
1、 一个劈形物体M，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个
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光滑小球m，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ） A、 沿斜面向下的直线 B、竖直向下的直线 C、无规则的曲线 D、抛物线 [同类变式]下列说法中符合实际的是：（ ）
A．足球沿直线从球门的右上角射入球门 B．篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐 C．台球桌上红色球沿弧线运动 D．羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。
2、如图所示为一空间探测器的示意图，P1 、P2 、P3 、P4是四个喷气发动机， P1 、P2的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P3 、P4的连线与y轴平行．每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率vo向正x方向平动．要使探测器改为向正x偏负y 60° 的方向以原来的速率vo平动，则可( )
A．先开动P1 适当时间，再开动P4 适当时间 B. 先开动P3 适当时间，再开动P2 适当时间 C. 开动P4 适当时间
D. 先开动P3 适当时间，再开动P4 适当时间
解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以 P1 、P2 、P3 、P4
分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正x偏负y 60° 的方向以原来的速率vo平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：A
3、如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ） A. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用 B. B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游 C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游 D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游
解析:游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A。
二、平抛运动
【题型总结】 1．斜面问题： ①分解速度：
例：如图所示，以水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为?的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。 解：tan??vxv0v0 ? ， ∴t?g?tan?vygt
2v0(2tan2??1)12 S?Sy?Sx?tan??gt?v0t?tan??22gtan2?0
练习：如图所示，在倾角为37的斜面底端的正上方H处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，
求小球抛出时的初速度。
解：小球水平位移为x?v0t，竖直位移为y?12gt,由图可知，2
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H?tan370?12gt153gHv02，又tan37?0，解之得：v0?. v0tgt17②分解位移：
例：如图，在倾角为?的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求小球从A运动到B处所需的时间和位移。
解：设小球从A处运动到B处所需的时间为t ，则水平位移x?v0t ，竖直位移y?1212gt 。gt?(v0t)tan? ，2212gt22Sy2v0tan?2v0tan?2??∴t? S? sin?sin?gsin?g练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v0
水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点
解析：当水平速度变为2v0时，如果作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对。 答案：A
练习2：（证明某一夹角为定值）从倾角为θ的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为
，若
，试比较
，第二次初速度
，球落在斜面上前
的大小。
解析：
所以。
即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。
，
练习3：（求时间或位移之比）如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v向右抛出一小
球，其落点与A的水平距离为s1，从A点以水平初速度2v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s2，不计空气阻力，可能为：
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5 解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有若两物体都落在斜面上，由公式
得，运动时间分别为
，C是可能。
若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），是可能的，1：5不可能。
不会小于1：4，但一定小于1：2。故1：3
，A是可能的。 ，
。水平位移
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答案：ABC
练习4：（斜面上的最值问题）在倾角为θ的斜面上以初速度v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜
面的最大距离是多少？
解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远,由，则运动时间为，
此时横坐标为。又此时速度方向反向延长线交横轴于
方法二：建立如图所示坐标系
,
,
,
处： 。
把运动看成是沿x方向初速度为度为
的匀减速运动的合运动。
最远处
，
，加速度为的匀加速运动和沿y方向的初速度为，加速
所以， 2．类平抛运动：
例：如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为? ，一物体从斜面右上方P点水平射入，而从斜面左下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。
解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F＝mgsin?，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a加＝
F?gsin?，又由于物体的初速度与a加垂m直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。
在水平方向上有 b= v0 t，沿斜面向下的方向上有a＝∴v0?1a加t2。 2bgsin??b。 t2a练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为R，且井壁光滑，有
一个小球从井口的一侧以水平速度v0抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第n次碰撞处的深度。
解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，
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当小球与井壁相碰n次时，小球在水平方向上通过的路程：Sx?2nR ，所以用的时间t?Sxv0?2nR ，由于v01212nR22n2R2g小球在竖直方向上做的是自由落体运动，因此小球在竖直方向上的位移Sy?gt?g( )?222v0v02n2R2g即小球与井壁发生第n次碰撞时的深度为 2v03．相对运动中的平抛运动：
例：正沿平直轨道以速度v匀速行驶的车厢内，前面高h的支架上放着一个小球，如图所示，若车厢突然改以加速度a ，做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？ 解：方法一：小球水平运动S1?v?方法二：v相对ah2h12h2h，小车水平运动S1?v? ?a? ,∴△S?S2?S1?gg2gg?0，a相对(水平)?a, ∴ △S?a?(122h2ah )?gg[同类变式]若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为 直线 （填“直线”或“曲线”） 因为v相对?0，a相对?a2?g2，所以运动轨迹为直线。
练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球，悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角θ，
如图所示，已知小球在水平底板上的投影为O点，小球距O点的距离为h.，若烧断悬线，则小球在底板上的落点P应在O点的________侧；P点与O点的距离为________。 解：烧断悬线前，悬线与竖直方向的夹角θ，解析小球的受力可知小球所受合力F?mgtan? ，根据牛顿第二定律知，车与球沿水平向右做匀加速运动，其加速度为a?? O F?gtan? , ①（题设隐含条件）,烧断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为t ，则有 m12h12h12hh?gt2 ②,对小球：s1?vt?v③,对小车：s2?vt?at2?v?gtan??
2g2g2g球对车的水平位移△s?s1?s2??h?tan?，负号表示落点应在O点的左侧，距离OP为htanθ 。
【巩固练习】
1、如图所示，房间里距地面H高的A点处有一盏白炽灯（可视为点光源）， 一小球以初速度v0从A点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角B处， 那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情况是（ ）
A．匀速运动 B．匀加速运动 C．变速运动 D．无法判断
1FQAF?,由平抛规律可得：EP=gt2,AE=v0t,AF=v0。
2EPAEAFgt2gH2H小球刚好落在墙角处，则有：s=FQ =·EP=（v0 t )??AEg2?v0t2解析：由相似三角形可知：由此可知：小球影子以速度v=
gH沿墙向下做匀速运动.答案：A 2[同类变式]如图所示，从地面上方D点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的A、B、C三点，图中0点与D点在同一水平线上，知O、A、B、C四点在同一竖直线上，且OA=AB=BC，三球的水平速度之比为vA：vB：
vC=___________。
12111ss2222h?gtB，3h?gtC；tA?tB?解析：由h?gt和s?vt,设OA=AB=BC=h ，则h?gtA，；；
2222vAvBstC?,整理得vA：vB：vC=6:3:2； tA：tB：tC =1:2:3.答案：6:3:2 ； 1:2:3
vC2、把物体甲从高H处以速度v1平抛，同时把物体乙从距物体甲水平方向距离为s处由地面以速度v2竖直上抛，
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不计空气阻力，两个物体在空中某处相遇，下列叙述中正确的是（ ） A、 从抛出到相遇所用的时间是
s v1B、 如果相遇发生在乙上升的过程中，则v2?gH C、 如果相遇发生在乙下降的过程中，则v2?D、 若相遇点离地面的高度为
gH 2H ，则v2?gH 2vHs1212H解析：对A选项：①v1t?s?t?；②v2t?gt??gt?t?,对B、C选项：t最高点?2,t?
v122v2gv2在上升过程中相遇：选项：
v2HvH2v2gH??v2?gH,在下降过程中相遇：2?????v2?gH,对Dgv2gv2g212Hgt??t?22HH??v2?gH.答案：ABD gv2[同类变式2]如图所示，P、Q两点在同一竖直平面内，且P点比Q点高，从P、Q两点同时相向水平抛出两个物体，不计空气阻力，则（ ）
A. 一定会在空中某点相遇 B. 根本不可能在空中相遇 C. 有可能在空中相遇 D. 无法确定能否在空中相遇
解析：P、Q在竖直方向上都是做自由落体运动，在相等时间内通过的竖直位移
相等。由于P点比Q点高，所以P点总在Q点上方。答案：B
[同类变式2]如图所示，质量均为m的 A、B两个弹性小球，用长为2l的不可伸长的轻绳 连接。现把A、B两球置于距地面高H处（H足够大），间距为l。当A球自由下落的同时， B球以速度v0指向A球水平抛出。 求：（1）两球从开始运动到相碰，A球下落的高度。
（2）A、B两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。 （3）轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。 解：（1）设A球下落的高度为h l?v0t 2gl1联立解得h? h?gt2 22v02 ??（2）由水平方向动量守恒得 mv0?mvAx?mvBx 1111222222??2?v)?m(v?由机械能守恒得 m(v0?vBy)?mvAy?m(v?AxAyBx?vBy)
2222???式中 v?Ay?vAy，vBy?vBy ,联立解得 vAx?v0， vBx?0
v0???I?mv?m（3）由水平方向动量守恒得 mv0?2mv?， ∴ BxBx23、如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处 正对球网跳起将球水平击出。
(1)若击球高度为2.5m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？ 解:(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示. 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：
3m 18m v0 h0 H x12h0122?2.51m/s?122m/s. t1??s?s,由此得排球越界的临界速度v1??x2 tg101/221若球恰好触网，则球在网上方运动的时间:t2?2(h0?H)2?(2.5?2)1?s?s.
g1010x1 9m 学而不思则惘，思而不学则殆
由此得排球触网的临界击球速度值v2?s23?m/s?310m/s. t21/10使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为: 310m/s?v?122m/s.
(2)设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有:
v0 x1x2H232，得h??m?m. ?x3152h2(h?H)h 1?(2)21?()2Hggx112 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网.
x2 1 [同类变式]一位同学将一足球从楼梯顶部以v0?2m的速度踢出（忽略空气阻力），若所有台阶都是高0.2m, 宽
sx0.25m，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上？ 解： 方法一：设足球落在第n级台阶上,0.25(n?1)?2?2?0.2n?0.25n?n?3 g22tan??v0方法二：Sx?v0?t??0.64,∵0.5?0.64?0.75 ∴落在第三级台阶上
g方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为P，此过程小球的水平位移为x，竖直位移为y，则：x?v0t，y?12x0.25gt,由几何知识可得：? 2y0.2x?2.6 ∵2
高中物理曲线运动经典题型总结
