一元二次方程的应用—知识讲解(提高)
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决实际问题,总结运用方程解决实际问题的一般步骤;
2. 通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤:
审(审题目,分清已知量、未知量、等量关系等); 设(设未知数,有时会用未知数表示相关的量); 列(根据题目中的等量关系,列出方程);
解(解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);
验(检验方程的解能否保证实际问题有意义) 答(写出答案,切忌答非所问). 要点诠释:
列方程解实际问题的三个重要环节: 一是整体地、系统地审题; 二是把握问题中的等量关系;
三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是:个位、十位、百位、 千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为:1、10、100、1000、……,数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数,而最高位上的数不能为0.因此,任何一个多位数,都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如:一个三位数,个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为: 100c+10b+a.
(2)几个连续整数中,相邻两个整数相差1.
如:三个连续整数,设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1. 几个连续偶数(或奇数)中,相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如:三个连续偶数(奇数),设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原来数、后来数、增长率或降低率,以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题:
平均增长率公式为a(1?x)?b (a为原来数,x为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量.)
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n
(2)降低率问题:
平均降低率公式为a(1?x)?b (a为原来数,x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.)
3.利息问题 (1)概念:
本金:顾客存入银行的钱叫本金. 利息:银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和:本金和利息的和叫本息和. 期数:存入银行的时间叫期数.
利率:每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系: 利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
n
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释:
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】 类型一、数字问题
1.(2015春?兴化市校级期末)两个连续负奇数的积是143,求这两个数. 【答案与解析】
解:设这两个连续奇数为x,x+2, 根据题意x(x+2)=143, 解得x1=11(不合题意舍去),x2=﹣13,
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则当x=﹣13时,x+2=﹣11. 答:这两个数是﹣13,﹣11. 故答案为:﹣13,﹣11.
【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点;根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键.
类型二、平均变化率问题
2. (2016?衡阳)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意列方程得( ) A.10(1+x)2=16.9 B.10(1+2x)=16.9 C.10(1﹣x)2=16.9 D.10(1﹣2x)=16.9
【思路点拨】根据题意可得:2013年底该市汽车拥有量×(1+增长率)2=2015年底某市汽车拥有量,根据等量关系列出方程即可. 【答案】A. 【解析】
解:设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x, 根据题意,可列方程:10(1+x)2=16.9, 故选:A.
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b. 举一反三:
【变式】有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按照这样的速度,第三轮传染后,患
流感的人数是( )
A.1331 B.1210 C.1100 D.1000 【答案】
2
设每人每轮传染x人,则(1+x)=121,x1=10,x2=-12舍去, 第三轮传染后患流感人数为121(1+10)=1331人.
类型三、利润(销售)问题
3. 有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也会有一定数量的螃蟹死去,假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为30元/kg.据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天各种费用支出400元,且平均每天还有10 kg的蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是20元/kg,如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元,那么他应放养多少天后再一次性售出? 【答案与解析】
解:设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适.
根据题意,得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)=6250,
2
整理,得x-50x+625=0,∴ x1=x2=25. 答:经销商放养25天后,再一次性售出可获利6250元.
【总结升华】此题牵涉到的量比较多,找等量关系列方程有一定难度.我们可以把复杂问题转化成若干
个简单问题分别解决,最后用一根主线连在一起.这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后
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