线面平行证明的常用方法
对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 求证：PB//平面析： r
张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平
行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等）， 我们现在
AEC . 分
如图⑴
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD中，点E是PD的中点?方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵，平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证:
AE// 平面 DCF.
分析：过点 E作EG//AD交FC于G， DG就是平面 AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明
AE//DG即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行 ，即:作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行
的平面
例3、如图⑷，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD为菱形， M为0A的中 点，N为BC的中点，证明：直线 MN ||平面
OCD
分析：：取0B中点E,连接 ME , NE,只需证平面 MENl平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形 ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于 AB ,点M , N分别在
AC 和 BF 上，且 AM=FN. 求证：MN |平面BCE.
A D
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
例 5.如图⑸，已知三棱锥P —ABC, A', B C '是△ PBC, △ PCA, △ PAB 的重心.
(1)求证：A'B' //面 ABC; (2)求 ￡△ A ' B ' C ' :
￡△ ABC .
方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 (或找空间一组基
底)及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为正方形，
侧棱SD丄底面ABCD，E，F分别为AB, SC的中点.证明EF //平面 SAD;
分析：因为侧棱 SD丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建 立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系
D xyz .
设 A(a,O,O， S(0,0, b)，贝U B(a, a,0), C(0，a,0,
E a, ,0 , F 0,,,
2 uuu EF
2 2 b a,0,—
2
因为y轴垂直与平面 SAD，故可设平面的法向 量为 n= (0, 1, 0)
uur r
则：EFgn
b
a,0,，(0, 1, 0) =0
2
uuu r
因此 EF n
所以EF //平面SAD .
线面平行证明的常用方法
