迭代法求解线性方程组的研究
【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-seidel迭代法，SOR
迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。
【关键字】:Jacobi迭代法 Gauss-seidel迭代法 SOR迭代法 数值实验
一． 引言
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重
要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。 设有方程组
Ax?b …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式
x?Bx?f …② (这种转化总能实现，如令B?I?A,f?b), 并由此构造迭代公式 x(k?1)?Bx(k)?f …③
(0)式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量xk??，由式③可求得向量序列
(k){x(k)}??x*，则x*就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称0，若limx为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性质。
本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR迭代法及其数值实验，第五部分总结。
二． 雅克比（Jacobi）迭代法
1. 雅克比迭代法的格式
设有方程组
?aj?1nijxj?bj(i?1,2,3,?,n) …①
矩阵形式为Ax?b,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且aii?0,(i?1,2,3,?,n)
word.
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
1(b? xi?aii取初始向量x(0)j?1j?1?anijxj) …②
(0)(0)?(x1(0),x2,?,xn)，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
x也可记为矩阵形式：
(k?1)in1?(??aijx(jk)?bi) …③ aiij?1j?1 x(k?1)?BJx?FJ …④
(k)若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，式中
?a11?a22? D??????
????， ?ann??????， ??0???0??a210 ?L??a31a320??????a?n1an2?
?ann?1?0a12?0? ?D??????a13?a23?0??a1n??a2n???。 ?an?1n?0??
则方程Ax=b变为 (D?L?U)x?b 得 Dx?(L?U)x?b 于是 x?D(L?U)x?Db
?1?1
?D?1(D?A)x?D?1b?(I?DA)x?Db?1?1
?1?1于是式中④中的 BJ?I?DA,fJ?Db。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于
word.
讨论迭代法的收敛性。
2. 雅克比迭代法的程序
雅克比迭代法的MATLAB函数文件 agui＿jacobi.m如下。 Function x= agui＿jacobi(a,b)
%a为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始向量（默认为零向量） %e为精度（默认为1e-6）,n为最大迭代次数（默认为100） x为返回解向量。 n=length(b)； N=100; e=1e-6;
x0=zeros(n,1); x=x0; x0=x+2*e; k=0;
d=diag(diag,0); 1=-tril(a,-1); u=-triu(a,1);
while norm(x0-x,inf)>e&k x=inv(d)*(l+u)*x+inv(d)*b; k disp(x) end if k=N warning(‘以达到最大迭代次数’);end 3. 数值例子 用雅克比迭代法求解如下线性方程组。 '?10x1?x2?2x3?72???x1?10x2?2x3?83 ??x?x?5x?42123?解：在MATLAB命令窗口求解例题 >>a=［10 -1 2;-1 10 -2;-1 -1 5］ a= 10 -1 2 -1 10 -2 -1 -1 5 >>b=［72;83;42］ word. b= 72 83 42 >>x= agui＿jacobi(a,b) 计算结果为： k=1 7.20000000000000 8.30000000000000 8.40000000000000 k=2 9.710000000000000 10.70000000000000 11.50000000000000 … k=16 10.99999968449670 11.99999968449670 12.99999962583317 x= 10.99999968449670 11.99999968449670 12.99999962583317. 三．高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 1. 高斯—赛德尔迭代法的格式。 雅克比迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。在每一步迭代时，用x求出x(k?1)(k)的全部分量 (k?1)的全部分量，因此称为同步迭代法，计算时需保留两个近似解x(k)和x(k?1)。 时， 但在雅克比迭代过程中，对已经计算出的信息未能充分利用，即在计算第i个分量xi已经计算出的最新分量x1(k?1)k?1),?,xi(?1没有被利用。从直观上看，在收敛的前提下，这些新的分量 k?1)(k)(k)x1(k?1),?,xi(?1应比旧的分量x1,?,xi?1更好，更精确一些。因此，如果每计算出一个新的分量便 立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛的速度更快，并且只需要储存一个近似解向量即可。据此思想可构造高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为 x也可以写成矩阵形式 x(k?1)(k?1)i1i?1?(?aijx(jk?1)?aiij?1j?i?1?anijx(jk)?bi) （i=1,2,…,n） ?BG?Sx(k)?fG?S 仍将系数矩阵A分解为 A?D?L?U 则方程组变为 (D?L?U)x?b 得 Dx?Lx?Ux?b 将最新分量代替为旧分量，得 Dx(k?1)?Lx(k?1)?Ux(k)?b word. 即 (D?L)x于是有 x(k?1)(k?1)?Ux(k)?b ?(D?L)?1Ux(k)?(D?L)?1b ?1?1所以 BG?S?(D?L)U fG?S?(D?L)b 因为高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快，这个结论在多数情况下是成立的，但也有相反的情况，即高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛慢，甚至还有雅克比迭代法收敛，高斯—赛德尔迭代法发散的情形。 2. 高斯—赛德尔迭代法的程序 高斯—赛德尔迭代法在MATLAB的函数文件 agui_GS.m 如下 Function x= agui_GS(a,b) %a为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始向量（默认为零向量） %e为精度（默认为1e-6）,N为最大迭代次数（默认为100），x为返回解向量 n=length(b); N=100; e=1e-6; x0=zeros(n,1); x=x0; x0=x+2*e; k=0; a1=tril(a); a2=inv（a1）; while norm(x0-x,inf)>e&k x=-a2*(a-a1)*x0+a2*b; format long k disp(x) end if k=N warning(‘已达到最大迭代次数’)；end 4. 数值例子 在MATLAB命令窗口求解例1 解： >>a=［10 -1 2;-1 10 -2;-1 -1 5］ a= 10 -1 2 word. '
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