第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
132?VD???d??3?2m?2?2d?.
h 解: 式（6.2.13）给出，在体积V?L3内，在px到px?dpx,py到
py?dpy,px到px?dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
V dpxdpydpz. （1）
h3用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为
4πV2pdp. （2） 3h上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp（体积V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为
p2??. 2m因此
p?2m?,
pdp?md?.将上式代入式（2），即得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
D???d??2L?m???d?. h?2??12132πVD(?)d??3?2m?2?2d?. （3）
h 解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在?空间体积元dxdpx内可能的量子态数为
dxdpx. h在长度L内，动量大小在p到p?dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
将能量动量关系
p2?? 2m2Ldp. （1） h代入，即得
6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
2πL2D???d??2md?.
hD???d??2L?m???d?. （2） h?2??12 解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在?空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为
1dxdydpxdpy. （1） 2h用二维动量空间的极坐标p,?描述粒子的动量，p,?与px,py的关系为
px?pcos?,py?psin?.
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
pdpd?.
在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内，动量方向在?到??d?范围内，二维自由粒子可能的状态数为
L2pdpd?. （2） h2对d?积分，从0积分到2π，有
?维自由粒子可能的状态数为
将能量动量关系
2?0d??2π.
可得在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内（动量方向任意），二
2πL2pdp. （3） 2hp2?? 2m代入，即有
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
??cp.
2πL2D???d??2md?. （4）
h试求在体积V内，在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
4?V2pdp. （1） h3将极端相对论粒子的能量动量关系
??cp
代入，可得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为
D???d??4πV?ch?2?d?. （2） 3al??le?????l
和
al???l?e??????l?,
其中?l和?l?是两种粒子的能级，?l和?l?是能级的简并度.
解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布?al?和al?必须满足条件
才有可能实现.
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布?al?和al?时各自的微观状态数为
Ω?N!?lal,??al!ll?alll?N,?a??N?,lllll????a????a??Ell （1）
??
N?!Ω???l?al?.??al?!ll （2）
系统的微观状态数Ω?0?为
Ω?0??Ω?Ω?. （3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Ω?0?或InΩ?0?为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得
0InΩ???ln?Ω?Ω???NlnN??allnal??alln?l?N?lnN???al?lnal???al?ln?l?,llll
为求使lnΩ?0?为极大的分布，令al和al?各有?al和?al?的变化，lnΩ?0?将因而有δlnΩ?0?的变化. 使lnΩ?0?为极大的分布?al?和al?必使
δlnΩ???0,
0??即
δlnΩ?0??al???ln?l??l?a???l?δal??0. ?δal??ln???l???l??但这些δal和δal?不完全是独立的，它们必须满足条件
δN??δal?0,lδN???δal??0,l
δE???lδal???l?δal??0.ll用拉氏乘子?,??和?分别乘这三个式子并从δlnΩ?0?中减去，得
δlnΩ?0???δN???δN???δE?a???al?l????ln?????l?δal???ln??????l??δal?
???ll?l???l???0.根据拉氏乘子法原理，每个δal和δal?的系数都等于零，所以得
lnlnal?lal??????l?0,
??????l??0,?l?即
al??le?????l?al???l?e??????l. （4）
拉氏乘子?,??和?由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的?和??可以不同，但有共同的?. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N?和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的?.
6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有N个玻色子，N?个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布?al?和al?必须满足条件
???alll?N,?al??N?,
llllll
??a????a??E （1）
热力学与统计物理课后习题第六章
