基本不等式及其应用
1．基本不等式
a＋b
若a>0,，b>0，则2≥ab，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)ab?a?b?a,b?0? 2a?b≥ab它们成立的条件不同，前者只要求a、2a?b2
b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）.
2
注：不等式a2＋b2≥2ab和
?a?b?(3)ab≤?? (a，b∈R)．
?2?ba
(4)a＋b≥2(a，b同号且不为0)．
222
?a?b?a＋b(5)???2(a，b∈R).
2??2a2?b2a?b2?a,b?0? ??ab?（6）
1122?aba3＋b3＋c3
;?a,b,c?0? (7)abc≤3(8)
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .
a＋b＋c33≥abc；?a,b,c?0?
1
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A.6 B.42 C.22
D.26
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，3
当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 1
A.2 B.1 C.2 D.4
1
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤2.当且仅当a1
＝1，b＝2时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A.a＜v＜ab
B.v＝ab
a＋ba＋bC.ab＜v＜2 D.v＝2 解：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a＜b，∴v＝s
a2s＋s＝b
2ab2ab
＜＝ab. a＋b2ab
ab－a2a2－a22ab
又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.
a＋ba＋ba＋b
(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________. 24解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋x2≥22，当且仅当x＝±2时等号成立.故填22.
点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.
解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1， ?m＋n?21
?＝， 所以mn≤?
4?2?1
当且仅当m＝n＝2时取等号，
1
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log24＝－2，故填－2.
2
类型一 利用基本不等式求最值 （x＋5）（x＋2）
(1)求函数y＝(x＞－1)的值域.
x＋1解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝4
＝m＋m＋5≥2
(2)下列不等式一定成立的是( )
1?1?
A.lg?x2＋4?>lgx(x>0) B.sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)
??
1
C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.2>1(x∈R)
x＋1111
解：A中，x2＋4≥x(x＞0)，当x＝2时，x2＋4＝x. 1
B中，sinx＋sinx≥2(sinx∈(0，1])； 1
sinx＋sinx≤－2(sinx∈[－1，0)). C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R). D中， 点拨：
ax2＋bx＋c
这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将
x＋df(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性x＋d
1
∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C. x2＋1
（m＋4）（m＋1）
m
4m·m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.
又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
t2－4t＋1
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 .
tt2－4t＋11
解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋
tt－4≥－2， 当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.
3
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (Ⅰ)xy的最小值； (Ⅱ)x＋y的最小值.
82
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x＞0，y＞0， 82则1＝x＋y≥2
828·＝，得xy≥64， xyxy
8y
，∵x＞0，∴y＞2， y－2
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立. (Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝则x＋y＝y＋
8y16＝(y－2)＋＋10≥18， y－2y－2
16
，即y＝6，x＝12时等号成立. y－2
当且仅当y－2＝
82
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1， 2x8y?82?则x＋y＝?x＋y?·(x＋y)＝10＋y＋x≥10＋2
??6，x＝12时等号成立.
类型二 利用基本不等式求有关参数范围
若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，
总有( )
A.2∈M，0∈M B.2?M，0?M C.2∈M，0?M
D.2?M，0∈M
2
4
2x8yy·x＝18，当且仅当y＝
k4＋45
解法一：求出不等式的解集：(1＋k)x≤k＋4?x≤2＝(k2＋1)＋2－
k＋1k＋15??
2?x≤?（k2＋1）＋k2＋1－2?＝25－2(当且仅当k2＝5－1时取等号).
??min
解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.
故选A. 点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：
(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；
4
(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等
式
mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围. 解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立. t－1
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－2＝ －
t－t＋1成立.
∵t－1＋∴－
t－1＋
1
＋1≥2t－111
＋1t－1
1
（t－1）·＋1＝3，
t－1
对任意t＞11
t－1＋＋1
t－1
1
1≥－3，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立. 1??
－∞，－故实数m的取值范围是?. 3???类型三 利用基本不等式解决实际问题
围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙
(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360. 360
由已知xa＝360，得a＝x， 3602
所以y＝225x＋x－360(x≥2).
3602
(2)∵x≥0，∴225x＋x≥2225×3602＝10800， 3602
∴y＝225x＋x－360≥10440，
5
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
