第十章 曲线积分
一、证明题
1.证明:若函数f在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(??t??)上连续，则存在点?x0,y0??L，使得，
?f?x,y?ds=f?xL0,y0??L
其中?L为L的长。 二、计算题
1.计算下列第一型曲线积分: (1)
??x?y?ds,其中L是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形;
L(2)
??xL2?y2?12ds,其中L是以原点为中心,R为半径的右半圆周;
x2y2(3) ?xyds,其中L为椭圆2+2=1在第一象限中的部分;
Lab(4)
?Lyds,其中L为单位圆x2?y2=1;
2(5)
??xL?y2?z2ds,其中L为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(0?t?2?)的一段;
212t3,z=t2 ?0?t?1?的一段; 32?(6)
??Lxyzds,其中L是曲线x=t,y=
(7)
L2y2?z2ds,其中L是x2?y2?z2=a2与x=y相交的圆周.
2.求曲线x=a,y=at,z=
12at(0?t?1,a?0)的质量,设其线密度为??22z, a3.求摆线x=a(t－sint),y=a(1－cost)(0?t??)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐????????1????2?表示,试给出计算式计算下列曲线积分.
?f?x,y?ds的公式.并用此公
L(1)eL?x2?y2???ds,其中L为曲线ρ=a?0????的一段;
4??x?(2)xds,其中L为对数螺线??ae(x>0)在圆r=a内的部分.
L?5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcosθ,y=rsinθ(0????),其线密度??a?(a为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m的质点的引力.
6.计算第二型曲线积分: (1)
?xdy?ydx,其中L为本节例2的三种情形;
LL(2)一段;
??2a?y?dx?dy,其中L为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0?t?2?)沿t增加方向的
?xdx?ydy222x?y?a,其中L为圆周,依逆时针方向; 22?Lx?y(3)
(4)
?ydx?sinxdy,其中L为y=sinx(0?x??) 与x轴所围的闭曲线,依顺时针方向;
L(5)
?xdx?ydy?zdz,其中L为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段.
L7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)
沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功.
8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(c?0) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功.
9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1)
?xyzddz,其中L为x+y+z=1与y=z相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限;
2
2
2
L(2)
??yL2?z2dx?z2?x2dy?x2?y2dz,其中L为球面x2+y2+z2=1在第一卦限
?????部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy平面部分,yz平面部分和zx平面部分
.
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十章
