第十二章 压杆的稳定性
12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量E?200GPa，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，d?25mm,l?1.0m；（2）矩形截面，h?2b?40mm，
l?1.0m;（3）16号工字钢，l?2.0m。
解：结构为两端铰支，则有??1,0,Plj??2EIl2
(1)圆截面杆，I?(2)矩形截面杆，
?d464,Plj??3?(0.025)4(1.0)?642?200?109?37.6?103?37.6kN
bh320?2?20?403?10?123493??40mm,Plj??200?10?53?10N?53kN I?2121212?(1.0)(3)16号工字查型钢表知
I?1130cm,Plj?4?2?1130?10?8?200(2.0)2?109?461?103N?461kN
dPlj?xblhvxy
题12-1图 题12-2图
12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l，在临界力
plj作用下杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z轴的惯性
矩为I，试推导其临界压力plj的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：M(x)??(??v)，结合 EIv???M(x)设k? V???kv?k? 通解为v?Asinkx?Bcoskx??
边界条件：x?0,v?0,则B???0，解出B???
222?EI，则有微分方程：
x?0,v??0（转角为零），A?k?0，解出A?0 解得挠曲线方程为：v??(1?coskx)
因为v在x?l处为?，则??coskl?0，由于??0，可得：coskl?0,kl?而k?2?2 （最小值）
?EI，得Plj??2EI(2l)2
注：由coskl?0，本有kl?n???2?0，计算可见n?0（kl??2时），对应的P值
是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。
12-3 某钢材，?p?230MPa,?s?274MPa，E?200GPa，?lj?338?1.22?，试计算?p和?s值，并绘制临界应力总图（0???150）。 解：?P??E?P?92.6,?s?a??s?52.5,式中a?338,b?1.22 b?ij?s274MPa?p?ij??s?ij?338?1.22?230MPa?2E?ij?2?作图时注意为二次曲线50?s 题12-3图
?p100x
12-4图示压杆的横截面为矩形，h?80mm,b?40mm,杆长l?2m，材料为优质碳钢，
E?210GPa。两端约束示意图为：在正视图（a）的平面内相当于铰支；在俯视图（b）
的平面内为弹性固定，并采用??0.6。试求此杆的临界应力Plj。
P80P200040PP
题12-4图
解：在正视平面内，Plj??2EIl2,I?1?80?403mm4 12?2EI?2EI1?,I??40?803mm4 俯视平面内， Plj?222(?l)l?(0.6)12因为80?40?31?40?803，对同一结构，Plj按正视平面内的公式计算（取较小值）： 2(0.6)3.142?210193?123??10??80?40?10?614?10N?614kN 2212Plj??2EIl212-5 钢结构压杆由两个56?56?8的等边角钢组成，杆长l?1.5m，两端为球形铰支受轴
向压力P?150kN，角钢为A3钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。 解：查型钢表得：A?8.367?10m,iy?0.0168m，则
2?42???li?1?1.5?89?123
0.0168采用抛物线公式：?lj?235?0.0066??182MPa,P?lj?305kN lj?2A n?PljP?305?2.03 150Palzy
题12-5图 题12-6图
12-6 图示立柱，长l?6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。试问当a为多大时立柱的临界压力Plj最高，其值为何？已知材料的弹性模量E?200GPa，比例限
?p?200MPa。
解：a的变化只会引起Iy的变化，对Iz没有影响；在两个平面内，?值相同，l同，同一结构，仅仅由I的大小决定结构在那一平面内最易失稳（Plj最小） 可见，立柱的临界压力Plj最高时，应该有(Plj)y?(Plj)z
?2EI4则由Plj?，有Iy?Iz，Iz查型钢表，为Iz?2?198.3cm 2(?l)而Iy?2?[25.6?12.74?(0.12?1.52)](cm) 解得 a?4.3cm?43mm
243.142?200?106?2?198.3?10?8?443N 此时，Plj?2(0.7?6)P1.5llP2mABaC120°120°da
题12-7图 题12-8图
12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径D?30mm，内径d?22mm，长度l?2.5m，材料的弹性模量E?210GPa。支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数nw?3求支架的许可载荷P。
解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为N，
??2.510.032?0.02224?269?1003.14?210?1093.1444Plj??(0.03?0.022)?9360N2(1?2.5)64
N取N?PljnW?3120N，则载荷 [P]?3Qcos??3?3120?2?7490N 2.5即许可载荷为7490N。
12-8 在图示结构中，AB为圆形截面杆，直径d?80mmA端固定，B端为铰支；BC为正方形截面杆边长a?110mm，C端为铰支。AB、BC两杆可独自发生弯曲变形而互不影响，材料均为A3钢，E?210GN/m。已知l?3m，压力P?150kN，规定的稳定安全系数nw?2.5，试校核结构的稳定性。
解：P作用下，两段的压力均为N?P，现分别求出各自的临界压力
2AB段:,??0.7,l?1.5?3?4.5m,I??d464?3.14?0.084,(与方向无关) 643.142?210?1093.144Plj???0.08?420kN 2(0.7?4.5)64[P]?PljnW?420?168kN?150kN，即P?[P]，AB段安全 2.5a41??0.114（与方向无关） BC段，??1.0,l?3m,I?12123.142?210?10914Plj???0.11?2404kN
3212[P]?PljnW?2404?962kN?150kN，即P?[P]，BC段安全 2.5综上分析，结构安全。
12-9 四根等长杆相互铰接成正方形ABCD，并与BD杆铰接如图所示。各杆的弹性模量E、截面积A极惯性矩I均相等。当（1）C两点处受一对拉力P，图（a）；（2）AC两点处受一对压力P，图（b），分别求达到临界状态的最小载荷P。
BBaPACPPaaaACPD(a)题12-9图
D(b)
工程力学第十二章压杆的稳定性课后习题答案
