Hull-White模型下欧式互换期权定价
王 茜1，张宏波2，林新艳3 (1.河南牧业经济学院 基础教研部，河南 郑州 450008； 2.河南财政金融学院 数学与统计学院,河南 郑州450046; 3.东兴证券股份有限公司 东兴资本，北京 100007)
【摘 要】采用Hull-White模型，通过Crank-Nicolson有限差分法来对欧式互换期权进行分析和定价，从相对常见的衍生品的定义和定价模型出发，最终给出欧式互换期权的定价结果. 【期刊名称】南阳师范学院学报 【年(卷),期】2017(016)012 【总页数】5
【关键词】关键词:利率模型；互换期权；有限差分法；Hull-White 模型
1 背景介绍
1.1 单因子Hull-White 利率模型
假设p(t,T)为在T时刻支付1的无息债券在t时刻的价格，即p(T,T)=1，假设r为稳定利率，则 p(t,T)=e-r(T-t), (1)
远期利率指在t时刻确定的，在t1与t2时刻之间市场所要求的利率，此时t< 现有的短期动态利率模型有很多，本文选择单因子Hull-White方法进行建模. Hull-White模型(1990)可以视作含有随时间t变化的参数α(t)和σ(t)的Vasicek模型的延伸，即在Vasicek模型中加入随时间变化的均值回复系数θ(t)，且Hull-White模型最显著的性质即为可以存在负利率，从最近的欧洲隔夜利率为负即可看出来. 具体模型如下： dr=(θ(t)-α(t)r)dt+σ(t)dW(t), (3) 此时的θ(t)为关于时间的确定性函数[1]： θ(t)=+αf(t,T)+, (4) 此时，f(t,T)为远期利率,本文中为了简化，用f(t,T)来表示f(0,t,T). 1.2 单个汇率的互换定价 基于同样的准则，对于fiexed-to-float 利率互换的定价，只需要计算出每一段时间的现价(PV, Present Value)，且计算出的结果是随着互换的价格而变化的. 然而，由于当开始进行互换的时候，视互换的价格为0，因此，只需找出使两个现价相等的互换率即可，得出的互换率即为支付固定利息的固定利率. 如下，给出每个时间段的固定利率和浮动利率的当前价格[2]： (5) PVFloating= (6) 这里N表示名义交易额,p(0,Ti)为无息债券价格,f(Tj,Tj+1)表示一期远期利率, 即在时间为0时从时间Tj到时间Tj+1的利率. x 是互换利率, τ 是两次利息支付的时间差. 让式(5)和式(6)相等，得互换利率： x=, (7) 使互换的任何一方都无有利机会. 由于 p(0,Tj)=, (8) fj-1,j·τj·p(0,Tj)=p(0,Tj-1)-p(0,Tj), (9) 则得出互换中浮动一方的价值，即 1-p(0,Tm)=1-p(0,n), (10) 因此可以得到由公式(7)变化而来的公式 (11) x=. (11) 通常浮动利率在互换中需要进行重置，浮动利率取决于当前付款期，并应用于下一次的付款. 因此，这里会用到远期利率f(Tj,Tj+1). 随着时间的推移，Tj会越来越大，但是，远期仅仅只负责一期，意味着重置的利率只对一期有效. 1.3 互换期权 利率互换期权是以利率互换为标的资产的期权， 故互换期权同时兼有利率互换和期权的特性.以下给出欧式互换期权的定价公式.
Hull-White模型下欧式互换期权定价
