2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)
1??1??? x?0x2xtanx??dx2(2) sin(x?t)dt? ?0dx2x(3) y\?4y?e 的通解为y? (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n个特征值是
(1) lim?(5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件：
19ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?,P(A?B?C)?,
216则P(A)?
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 ( )
(A) 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。 (B) 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。 (C) 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。 (D) 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。
?1?cosx,x?0?(2)设f(x)??其中g(x)是有界函数，则f(x)在x?0处 ( ) x?x2g(x),x?0?(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导
1?x,?????????0?x??a0??2,S(x)???ancosn?x,???x???,其中(3) 设f(x)??2n?1?2?2x,??1?x?1??21?5?an?2?f(x)cosn?xdx,(n?0,1,2,???),则S???等于 ( )
0?2?1133(A) (B)? (C) (D)?
2244
(4)设A 是m?n矩阵， B 是n?m矩阵，则
(A)当m?n时，必有行列式AB?0 (B)当m?n时，必有行列式AB?0 (C)当n?m时，必有行列式AB?0 (D)当n?m时，必有行列式AB?0
1
(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则
11. (B) P?X+Y?1??. 2211(C) P?X-Y?0??. (D) P?X-Y?1??.
22(A) P?X?Y?0??
三、(本题满分5分)
设y?y(x)，z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
四、(本题满分5分)
求I?dz。 dx??eLxsiny?b(x?y)?dx??excosy?ax?dy,其中a,b 为正常数， L 为从点A?2a,0?沿曲线y=2ax-x2到点O(0,0)的弧.
五、 (本题满分6分)
设函数y?x??x?0?二阶可导，且y??x??0，y?0??1.过曲线y?y?x?上任意一点
P?x,?y?作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区
间?0,?x?上以y?y?x?为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1?S2恒为1，求此曲线
y?y?x?的方程.
六、(本题满分6分)
试证：当x?0时，x?1lnx??x?1?.
2??2
七、(本题满分6分)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N, 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：①1N?1m?1J;其中m,N,s,J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)
八、(本题满分7分)
x2y2??z2?1的上半部分，点P(x,y,z)∈S,π为S 在点P 处的切平面，设S 为椭球面22zdS. ?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，求???(x,y,z)S
九、(本题满分7分)
2
?设an?(1) 求
?1?an?an?2?的值； ?n?1nan收敛 ??nn?1?40?tannxdx,
(2) 试证：对任意的常数λ>0, 级数
十、(本题满分8分)
?1c??a??,其行列式A??1,又A 的伴随矩阵A*有一个特征值?，属
b3设矩阵A?50????1?c0?a??T于?0的一个特征向量为??(?1,?1,1),求a,b,c和?0的值.
十一、(本题满分6分)
设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B为B的转置矩阵，试证：BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r?B??n.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量?X,Y?联合分布律及关于X 和关于
TTY 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.
Y X x1 y1 y2 y3 P?X?xi??pi 1 1 8 x2 P?Y?yj??pj 十三、(本题满分6分) 设总体X 的概率密度为
181 6 ?6x?(??x),0?x?? f(x)???3??0, 其他X1,X2,???,Xn是取自总体X 的简单随机样本.
(1) 求θ的矩估计量? (2) 求?的方差D?.
?? 3
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)
13【分析】利用x?0的等价变换和洛必达法则求函数极限.
(1)【答案】. 【详解】 方法1：lim?1?tanx?x?1??limtanx?x?02x?0x2xtanx?xtanx?xlimtanx?x 3x?0xsec2x?1tan2x?limtanx 洛limx?0x?03x23x2方法2：lim?x21xlim2? x?03x31?cosx?sinx?xcosx?1?1??lim??lim ?x?0?2?x?02x?0x2xtanx?xsinx?xsinx??xsinx
xlimsinx?xcosxcosx?cosx?xsinxsinx1洛lim?lim? 32x?0x?0x?0x3x3x32(2)【答案】sinx
db【分析】欲求?(x,t)dt，唯一的办法是作变换，使含有?(x,t)中的x“转移”到?之外
dx?a【详解】令u?x?t，则dt??du，所以有
dxd0dx22sin(x?t)dt????sinu?du??sinu2du?sinx2 ?dx0dxxdx0
(3)【答案】y?C1e?2x1????C2?x?e2x,其中C1,C2为任意常数.
4??【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.
2【详解】原方程对应齐次方程y\?4y?0的特征方程为：??4?0,解得?1?2,?2??2，故
y\?4y?0的通解为y1?C1e?2x?C2e2x,
2x由于非齐次项为f(x)?e,因此原方程的特解可设为y?Axe,代入原方程可求得
*2xA? 1?2x1?*?2x，故所求通解为y?y1?y?C1e??C2?x?e
4?4?(4)【详解】因为
4
???1?1??1??1?E?A???......??1??1两边取行列式，
...?1??...?1?(对应元素相减) ?......?...??1???1?E?A??1...?1?1...?1......1??1...??n?1...?1把第2，?，n列??n??1...?1...?1加到第1列.........?1...?1?1...
...??1??n?12行?1行...??1提取第1列1??1...?13行?1行(??n) (??n)............???............的公因子1?1...??1n行?1行00...???n-1(??n)
令
10?1...?1?...0?E?A??n-1(??n)?0，得?1?n(1重)，?2?0((n?1)重)，故矩阵A的n个特征值
是n和0((n-1)重)
(5)【答案】14 【详解】根据加法公式有
P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(AB)?P(BC)?P(ABC)
因为P(A)?P(B)?P(C)，设P(A)?P(B)?P(C)?p
由于A,B,C两两相互独立，所以有
P(AB)?P(A)P(B)?p?p?p2， P(AC)?P(A)P(C)?p?p?p2， P(BC)?P(B)P(C)?p?p?p2，
又由于ABC??，因此有P(ABC)?P(?)?0, 所以 P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(AB)?P(BC)?P(ABC)
?p?p?p?p2?p2?p2?0?3p?3p2
又P(ABC)?99922?0 ，从而P(ABC)?3p?3p?，则有3p?3p?161616?p2?p?331?0，解得 p?或p? 1644 5
2020考研数学一真题参考1999答案解析
