2020年九年级数学中考复习专题：最值问题总结 讲义
中考最值问题专题分享
知识点一 将军饮马 【知识梳理】
一、什么是将军饮马？ 【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
B军营将军A河
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
BAP
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
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【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
BAPA'
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
BA端点P折点A'
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
【例题精讲】
类型一、【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
AP'MAPBOMPBP''ONN
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此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
例1、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
BNPMAO
类型二【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
AP'MPQONBONQ'MPQBA
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
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类型三【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
AP'MPOBOMPBANN
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
例2、如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为( )
yACPODBx
A．(2,2)
55B．(，)
2288C．(，)
33D．(3,3)
例3、如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
例4、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是( )
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A．3
BB．2 C．23 D．4
ANADMBMNC
D1例5、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足S?PAB?S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之
3和PA+PB的最小值为( )
A．213
B．210 C．35 D．41 例6、如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )
A．55
B．105 C．103
D．153
例7、如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．
HAByDPCAEABFPNOMD5 / 39 GCx
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