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函数的图像及变换
?对称变换?y?f(|x|)翻折?翻折变换????y?|f(x)|翻折?一、函数图像的变换? ?左右平移?平移变换???上下平移???横坐标不变，纵坐标伸缩?伸缩变换???纵坐标不变，横坐标伸缩?（1）对称变换（几种常用对应点的对称变换）
关于x轴对称：(x,y)?(x,?y) 关于y轴对称：(x,y)?(?x,y) 关于原点对称：(x,y)?(?x,?y) 关于y?x对称：(x,y)?(y,x)
关于y??x对称：(x,y)?(?y,?x) 关于直线x?a对称：(x,y)?(2a?x,y)（轴对称） 关于y?x?b对称：(x,y)?(y?b,x?b) 关于y??x?b对称：(x,y)?(b?y,?x?b) 关于点P(a,b)对称：(x,y)?(2a?x,2b?y)（点对称）
例1：已知f(x)?x?2x，且g(x)与f(x)关于点(1,2)对称，求g(x)的解析式.（相关点法）
例2：已知函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称，且当x?(0,??)时，有f(x)?21，则当 xx?(??,?2)时，f(x)的解析式是（ ）.
A. ?1111 B. C.? D. xx?2x?22?x例3：下列函数中，同时满足两个条件“①?x?f(R，
?x??x)?f(?x)?0；②当?121263????时，f(x)?0”的一个函数是（ ） A.f(x)?sin(2x?'?6) B. f(x)?cos(2x??3)
C. f(x)?sin(2x??6) D. f(x)?cos(2x??6)
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（2）翻折变换 ①关于形如y?f(x)的图像画法：
当x?0时，y?f(x)；当x?0时，y?f(?x)
y?f(x)为偶函数，关于y轴对称，即把x?0时y?f(x)的图像画出，然后x?0时的图像与 x?0的图像关于y轴对称即可得到所求图像.
②关于形如y?f(x)的图像画法
当f(x)?0时，y?f(x)；当f(x)?0时，y??f(x)
先画出y?f(x)的全部图像，然后把y?f(x)的图像x轴下方全部关于x轴翻折上去，原x轴上方的图像保持不变，x轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.
例3：画出下列函数的图像.
（1）y?log1x （2）y?x2?2x?8
2
例4:设函数f(x)?x2?4x?5.
（1）在区间[?2,6]上，画出函数f(x)的图像；
（2）设集合A?xf(x)?5，B?(??,?2][0,4][6,??).试判断集合A、B之间的关系，并给出证明；
（3）当k?2时，求证：在区间[?1,5]上，y?kx?3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
??
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（3）平移 ①左右平移
把函数y?f(x)的全部图像沿x轴方向向左（a?0）或向右（a?0）平移a个单位即可得到函数
y?f(x?a)的图像
②上下平移
把函数y?f(x)的全部图像沿y轴方向向上（a?0）或向下（a?0）平移a个单位即可得到函数
y?f(x)?a的图像
例4：将函数y?lg(3x?2)?1按向量a?(?2,3)平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量a?(??8,2)平移后得到的图象的解析式为y?sin(2x??4)?2，
则原来函数的解析式 .
（4）伸缩变换 Ⅰ.将函数y?f(x)的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a?1)或缩短(0?a?1)为原来的
a倍得到函数y?af(x)(a?0)的图像.
Ⅱ. 将函数y?f(x)的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(a?1)或缩短(0?a?1)为原来的
1倍得到函数y?f(ax)(a?0)的图像. a例6：已知函数f(x)?22x?1?lg(x?2)，把函数y?f(x)的图像关于y轴对称，然后向右平移1个单位，
最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到g(x)的图像，求g(x)的解析式.
例7：已知函数f(x)?log2(x?1)，将y?f(x)的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y?g(x)的图像. （1）求y?g(x)的解析式和定义域； （2）求函数F(x)?f(x?1)?g(x)的最大值.
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函数的图像及其变换(完整版)
