第六章近独立粒子的最概然分布
6.1试根据式（）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
解:式（）给出，在体积V?L3内，在px到px?dpx,py到py?dpy,px到px?dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Vdpxdpydpz.（1） h3用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为 4πV2pdp.（2） h3上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp（体积V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此
将上式代入式（2），即得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 132πVD(?)d??3?2m?2?2d?.（3）
h6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
解:根据式（），一维自由粒子在?空间体积元dxdpx内可能的量子态数为 在长度L内，动量大小在p到p?dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为 将能量动量关系 代入，即得
D???d??2L?m???d?.（2） h?2??122Ldp.（1） h6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
解:根据式（），二维自由粒子在?空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为
1dxdydpxdpy.（1） 2h
用二维动量空间的极坐标p,?描述粒子的动量，p,?与px,py的关系为 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内，动量方向在?到??d?范围内，二维自由粒子可能的状态数为
对d?积分，从0积分到2π，有
可得在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为 将能量动量关系 代入，即有 6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 试求在体积V内，在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（）已给出在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
将极端相对论粒子的能量动量关系 代入，可得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
D???d??4πV4?V2pdp.（1） h32πL2D???d??2md?.（4）
h2πL2pdp.（3） 2hL2pdpd?.（2） h2?ch?3?2d?.（2）
6.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和
其中?l和?l?是两种粒子的能级，?l和?l?是能级的简并度.
解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布?al?和al?必须满足条件
??
才有可能实现.
?alll?N,?a??N?,lllll??a????a??Ell（1）
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布?al?和al?时各自的微观状态数为
Ω?N!?lal,??al!ll?? N?!Ω???l?al?.??al?!ll（2）
系统的微观状态数Ω?0?为 利用斯特令公式，由式（3）可得 为求使lnΩ?0?为极大的分布，令al和al?各有?al和?al?的变化，lnΩ?0?将因而有δlnΩ?0?的变化.使lnΩ?0?为极大的分布?al?和al?必使 即
但这些δal和δal?不完全是独立的，它们必须满足条件 用拉氏乘子?,??和?分别乘这三个式子并从δlnΩ?0?中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δal和δal?的系数都等于零，所以得 即
al??le?????l?al???l?e??????l.Ω?0??Ω?Ω?.（3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Ω?0?或InΩ?0?为极大的分布.
??（4）
拉氏乘子?,??和?由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布.两个分布的?和??可以不同，但有共同的?.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N?和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的?.
6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？
解:当系统含有N个玻色子，N?个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布?al?和al?必须满足条件
????a????a??E（1）
llllll才有可能实现.
热力学与统计物理课后习题答案第六章
