专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识
模型一、A字形(手拉手)及其旋转
DCACADCEDBEABEB
模型二、K字型及其旋转
CBBDCBDACAEDAEE
【例1】(2019·济源一模)在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边∠APE,点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化.
(1)探索发现
如图1,当点E在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE.填空:BP与CE的数量关系是 ,CE 与 AD 的位置关系是 (2)归纳证明
当点E在菱形 ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)
(3)拓展应用
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如图4,当点P在线段 BD 的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,请直接写出四边形 ADPE 的面积.
图1 图2
图3 图4
【答案】(1)BP=CE,CE∠AD;(2)(3)见解析. 【解析】解:(1)连接AC,延长CE至AD,
∠四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∠∠BAD=120°,
∠∠BAC=60°,∠CAD=60°, ∠∠ABC是等边三角形, ∠AB=AC,
∠∠APE是等边三角形, ∠AP=AE,∠PAE=60°, ∠∠BAP=∠CAE, ∠∠BAP∠∠CAE, ∠BP=CE, ∠∠ABC=60°, ∠∠ABP=30°, ∠∠BAP∠∠CAE, ∠∠ABP=∠ACE=30°, ∠∠CAD=60°, ∠∠ACE+∠CAD=90°, 即CD∠AD.
(2)结论仍然成立,理由如下:(以图2为例) 连接AC,设CE与AD交于点H,
∠四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∠∠ABC和∠ACD是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°, ∠AB=AC,∠BAC=60°, ∠∠APE是等边三角形,
∠AP=AE,∠PAE=60°, ∠∠BAP=∠CAE, ∠∠BAP∠∠CAE,
∠BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°, ∠∠CAH=60°,
∠∠AHC=90°,即CE∠AD;
(3)连接AC交BD于O,连接CE,
由(2)知,CE∠BC,
∠AB=23,BE=219,
在Rt∠BCF中,由勾股定理得:CE=8, 由∠BAP∠∠CAE, 得:BP=CE,BD=6, ∠DP=BP-BD=2,
AO=3,
在Rt∠AOP中,由勾股定理得:AP=27, ∠S=S∠ADP+S∠APE
213?27 =?2?3?24??=83.
【变式1-1】(2019·周口二模)在△ABC中,∠ABC为锐角,点M为射线AB上一动点,连接CM,以点C为直角顶点,以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN,连接NB.
(1)如图1,图2,若∠ABC为等腰直角三角形,
问题初现:∠当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,则线段BN,AM之间的位置关系是_____________,数量关系是______________;
深入探究:∠当点M在线段AB的延长线上时,判断线段BN,AM之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
类比拓展:(2)如图3,∠ACB≠90°,若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,MP∠CM交线段BN于点P,且∠CBA=45°,BC=42,当BM=_________时,BP的最大值为__________.
NCCNCPAM图1BA图2BAM图3B
图1 图2 图3
【答案】(1)BN∠AM,BN=AM;(2)见解析,(3)2, 1.
【解析】解:(1)由AC=BC,∠ACM=∠BCN,CM=CN,可证∠ACM∠∠BCN, ∠BN=AM,∠A=∠CBN=45°, ∠∠ABN=90°,即BN∠AM.
(2)BN∠AM,BN=AM;理由如下: