第七章空间解析几何与向量代数
内容概要
名称 向量及线性运算 向量的坐标 主要性质：（1）a单位化向量为向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容（7-1，7-2，7-3） ?a：当??0时，?a表示和a同向，?a??a的向量； 当??0，?a表示和a反向，?a??a的向量； aa，（2）a//b?a??b M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的距离：(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量的代数运算 a?axi?ayj?azk b?bxi?byj?bzk ?a??axi??ayj??azk 向量a的模、方向余弦：222a?ax?ay?aza?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ，cos??axba,cos??x,cos??zaaa 向量a在μ轴上的投影：Prjμa?acos(a,μ)???a?μ μ数量积向量积混合积 数量积 定义及运算：a?b?abcos(a,b)?axbx?ayby?azbz 主要性质：（1）a?a?a2；（2）a（3）cos(a,b)??b?a?b?0，?a?bab 向量积 定义 a?b的模为a?b?absin(a,b)，方向为a指向b大拇指方向 ?运算 ia?b?axbxjaybykazbz 性质：（1）a?b表示以a、b为邻边的平行四边形面积； （2）a?b?a , a?b?b 混合积 ax定义及运算：(a?b)?c?bxcx性质：（1）(a?b)?caybycyazbzcz ?(b?c)?a?(c?a)?b （2）a,b,c共面的充要条件：(a?b)?c?0 习题7-1
★★1．填空：
（1） 要使（2） 要使
★2．设ua?b?a?b成立，向量a , b应满足a?b
a?b?a?b成立，向量a , b应满足a//b ，且同向
?a?b?2c , v??a?3b?c，试用a , b , c表示向量2u?3v
知识点：向量的线性运算
解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
★3．设P , Q两点的向径分别为r1 , r2，点
R在线段PQ上，且
PRRQ?m，证明点R的向径为 nr?n r1?m r2m?n
知识点：向量的线性运算
证明：在?OPQ中，根据三角形法则OQ?OP?PQ，又PR?∴ORmm PQ?(r2?r1)，
m?nm?n?OP?PR?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n
★★4．已知菱形
ABCD的对角线AC?a , BD?b，试用向量a , b表示AB , BC , CD , DA。
知识点：向量的线性运算
解：根据三角形法则， AB?BC?AC?a , AD?AB?BD?b，又ABCD为菱形，
∴
AD?BC（自由向量），
uuuruuuruuuruuura?buuuruuuruuurb?a∴2AB?AC?BD?a?b?AB? ?CD??DC??AB?22ura?buua?b∴AD?BC?，DA??
22★★5．把?ABC的BC边五等分，设分点依次为D1 , D2 , D3 , D4，再把各分点与点
A连接，试以
AB?c , BC?a表示向量D1A , D2A , D3A 和D4A。
知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，
A c B D1 D2 图7-1-5 a C D4 D3
11BC?D1A??AD1??(c?a) 55234同理：D2A??((c?a), D3A??(c?a), D4A??(c?a)
555根据三角形法则，
AB?BD1?AD1, BD1?习题7-2
★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A(2 ,?2 , 3)； B(3 , 3 , ?5)； C(3 , ?2 , ?4)； D(?4 , ?3 , 2)
答：A(2 ,?2 , 3)在第四卦限，B(3 , 3 , ?5)在第五卦限，C(3 , ?2 , ?4)在第八卦限，
D(?4 , ?3 , 2)在第三卦限
★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：
A(2,3,0); B(0,3,2); C(2,0,0); D(0,?2,0)
知识点：空间直角坐标
答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，
∴点
A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。
★3．求点(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。
答：（1）(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,?c)；关于xoz面的对称点的坐标为(a,?b,c)；
关于yoz面的对称点的坐标为(?a,b,c)。
（2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c)；关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c)；
关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)
（3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(?a,?b,?c)
(x0,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐★★4．过点P0标各有什么特点？
(x0,y0,z0)平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0，因此坐标为(x0,y0,z)；答：过点P0(x0,y0,z0)平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z0，因此坐标为(x,y,z0) 过点P0★5．求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。
解：∵M(x,y,z)到x轴的距离为z2?y2
∴M(5,?3,4)到x轴的距离为同理M(5,?3,4)到y轴的距离为
z2?y2?9?16?5；
x2?z2?25?16?41；
M(5,?3,4)到z轴的距离为x2?y2?25?9?34
★★6．在yoz面上，求与三点
A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。
知识点：空间两点的距离
解：∵所求点在yoz面上，∴设所求点的坐标为(0,y,z)，由条件可知：
9?(y?1)2?(z?2)2?16?(y?2)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2
?3y?4z??5?y?1，∴所求点为(0,1,?2) ????4y?z?6z??2??uuuuuuruuuuuur★7．已知两点M1(0,1,2),M2(1,?1,0)，试用坐标表示式表示向量MM,?2MM。 1212知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算
解：M1M2?{1,?2 , ?2}；?2M1M2??2{1,?2 , ?2}?{?2, 4, 4}
★8．求平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个，
∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36uuuuuur★★9．已知两点M(4,2,1),M(3,0,2)，计算向量MM的模、方向余弦、方向角。 1212知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：
M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343
★★10．已知向量a的模为3，且其方向角
????60o,??45o，求向量a。
知识点：向量的坐标表示及相关概念
解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：
a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos★★11．设向量a的方向余弦分别满足
?3,cos??3323,cos}?{,,} 43222(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0
问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？
知识点：向量的方向余弦
解：（1）cos??0表示向量和x轴正向夹角为
（2）cos?（3）cos?于z轴
★12．已知
?，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为
?，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60o，求Prj?r。
知识点：向量在轴上的投影
解：根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?
大学高数第七章 空间解析几何课后参考答案及知识总结
