?tanC?AD155， ??CD3612在Rt?ABD中，BD?AB2?AD2?252?152?20， ?BC?BD?CD?20?36?56．
19．（8分）如图，MB，MD是O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB?CD，M是AC的中点．
（1）求证：MB?MD；
（2）过O作OE?MB于点E，当OE?1，MD?4时，求O的半径．
【解答】（1）证明：?AB?CD，
AB?CD，
M是AC的中点， ?AM?CM，
?BM?DM，
?BM?DM．
（2）解：如图，连接OM．
DM?BM?4，OE?BM， ?EM?BE?2， OE?1，?OEM?90?，
?OM?OE2?EM2?12?22?5，
?O的半径为5．
20．（8分）如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上，已知?EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S．
求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． （2）S的最大值及此时x的值．
解：（1）过E作EM?GF于M，交DC于N，?EFG的边长为2， ?FM?MG?1，
四边形ABCD是矩形，
?AD?CB?MF，DC?AB?x，DC//AB， ??EDC∽?EFG， ?
DCEN， ?GFEM?
x3?AD?， 2323?3x， 2解得：AD??矩形ABCD的面积S?AD?AB?23?3x32x，即S??x?3x； 22
（2）S??3233， x?3x??(x?1)2?2223． 2即当x?1时，S的最大值是21．（10分）如图，在?ABC中，?CAB?90?，D是边BC上一点，AB2?BDBC，E为线段AD中点，连结CE并延长交AB于点F． （1）求证：AD?BC．
（2）若AF:BF?1:3，求证：CD:DB?1:2．
【解答】证明：（1）?
AB2?BDBC，
ABBD，又?B??B， ?BCAB??ABD∽?CBA，
??BDA??BAC?90?，即AD?BC．
（2）作EG//CB交AB于点G， 则?AEG∽?ADB， ?
EGAGAE1???， BDABAD2?BD?2EG，
AF1?， FB3?
FG1?， FB3EG//CB，
??FEG∽?FCB， ?
EGFG1??， BCFB3?BC?3EG，
?CB:DB?3:2． ?CD:DB?1:2．
22．（12分）已知函数y1?x2?(m?2)x?2m?3，y2?nx?k?2n(m，n，k为常数且n?0)． （1）若函数y1的图象经过点A(2,5)，B(?1,3)两个点中的其中一个点，求该函数的表达式． （2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M． ①求点M的坐标和k的值．
②若m2，当?1x2时，总有y1y2，求m?n的取值范围． 解：（1）对于函数y1?x2?(m?2)x?2m?3，当x?2时，y?3， ?点A不在抛物线上，
把B(?1,3)代入y1?x2?(m?2)x?2m?3，得到3?1?3m?5， 解得m??1，
?抛物线的解析式为y?x2?x?1．
（2）①函数y1经过定点(2,3)，
对于函数y2?nx?k?2n，当x?2时，y2?k， ?当k?3时，两个函数过定点M(2,3)．
②m2，
?抛物线的对称轴x?m?22， 2?抛物线的对称轴在定点M(2,3)的左侧，
由题意当1?(m?2)?2m?3?n?3?2n时，满足当?1x2时，总有y1y2，
?3m?3n?3， ?m?n?1．
23．（12分）如图，?ABD内接于半径为5的O，连结AO并延长交BD于点M，交O于点C，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E，AB?AM． （1）求证：?ABM∽?ECA． （2）当CM?4OM时，求BM的长；
（3）当CM?kOM时，设?ADE的面积为S1，?MCD的面积为S2，求代数式表示）．
S1的值．（用含k的S2
【解答】证明：（1）??AMB??CAE，
AE//BD，
又?ABD??ACD， ??ABM∽?ECA；
（2）解：
AB?AM，?ABM∽?ECA，
?AE?CE， CM?4OM，
2019-2020学年浙江省杭州市下城区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
