2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根?函数y＝f (x)的图象与x轴有交点?函数y＝f (x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数
概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？ 提示 不能．
?x3,x0,1．（2020?天津）已知函数f(x)??若函数g(x)?f(x)?|kx2?2x|(k?R)恰有4个零点，则k?x,x?0?Δ>0 Δ＝0 Δ<0 (x1,0) 1 无交点 0 (x1,0)，(x2,0) 2 的取值范围是( )
1A．(??，?)?(22，??)
21B．(??，?)?(0，22)
2C．(??，0)?(0，22) 【答案】D
D．(??，0)?(22，??)
【解析】若函数g(x)?f(x)?|kx2?2x|(k?R)恰有4个零点， 则f(x)?|kx2?2x|有四个根，
即y?f(x)与y?h(x)?|kx2?2x|有四个交点， 当k?0时，y?f(x)与y?|?2x|?2|x|图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
2当k?0时，y?|kx2?2x|与x轴交于两点x1?0，x2?(x2?x1)
k图象如图所示，
两图象有4个交点，符合题意， 当k?0时，
y?|kx2?2x|与x轴交于两点x1?0，x2?2(x2?x1) k2在[0，)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
k2只需y?x3与y?kx2?2x在(，??)还有两个交点，即可，
k2即x3?kx2?2x在(，??)还有两个根，
k即k?x?22在(，??)还有两个根， xk
函数y?x?2x22，（当且仅当x?2时，取等号）， 所以0?2k?2，且k?22，所以k?22，
综上所述，k的取值范围为(??，0)?(22，??)． 故选D．
2．（2019?新课标Ⅲ）函数f(x)?2sinx?sin2x在[0，2?]的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】函数f(x)?2sinx?sin2x 在[0，2?]的零点个数， 即方程2sinx?sin2x?0 在区间[0，2?]的根个数， 即2sinx?sin2x?2sinxcosx 在区间[0，2?]的根个数， 即sinx?0 或cosx?1 在区间[0，2?]的根个数， 解得x?0或x?? 或x?2?．
所以函数f(x)?2sinx?sin2x在[0，2?]的零点个数为3个． 故选B．
3．（2017?新课标Ⅲ）已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?(A．?12
B．13
C．
12 D．1
【答案】C
)
2020-2021学年高考数学(理)考点：函数与方程
