九年级数学竞赛讲座：坐标平面上的直线

由天下分享时间：2025/1/14 7:38:26 加入收藏我要投稿点赞

九年级数学竞赛讲座：坐标平面上的直线

一般地，若y?kx?b (k，b是常数，k?0)，则y叫做x的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式y?kx?b 6中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y随x的变化情况)．如图所示：

一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数y?kx?b都可看作是关于x、y的一个二元一次方程kx?y?b?0；任意一个关于x、y的二元一次方程ax?by?c?0，可化为形如y??x? (b?0)的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组．【例题求解】

【例1】如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点的直线为y1?k1x?b1，过A、P两点的直线为y2?k2x?b2，且BP⊥AP，则

k1k2(k1?k2)= ．

abcb思路点拨解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP的等式即可．

【例2】设直线nx?(n?1)y?2 (n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn (n＝1，2，…2000)，则S1+S2+…+S2000的值为( ) A．1 B．

199920002001 C． D． 200020012002

思路点拨求出直线与x轴、y轴交点坐标，从一般形式入手，把Sn用含n的代数式表示．

【例3】某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间．．．．为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式；

(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．思路点拨对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量．

注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了．

（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础．【例4】如图，直线y??3x?1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象312限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P(a，)，且△ABP的面积与△A ABC的面积相等，求a的值．

思路点拨利用S△ABP＝S△ABC建立含a的方程，解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差．

注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用

在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．

【例5】在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线y?x?a?a上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象．

思路点拨先画出符合题意的图形，然后对不确定折线y?x?a?a及其中的字母a的取值范围进行分类讨论，a的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状．

注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路．

学历训练

1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为． 2．已知k?a?b?ca?b?c?a?b?c，且m?5?n2?9?6n，则关于自变量x的一次函数y?kx?b??cba边落

的图象一定经过第象限．

3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数x之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：

(1)当售票数满足0

4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平