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向量垂直的充要条件的两种形式在高考中的应用
两向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零，此结论常用来求长度、夹角、向量和点的坐标、解证平面几何问题、求解参数问题等.下面结合近几年的高考题说明向量垂直的两种形式的应用.
一、向量垂直的一般形式的应用
向量垂直的一般形式：若→a与→b为非零向量，则→a⊥→b?→a·→b=0；
例1设向量→a，→b，→c满足→a＋→b＋→c＝0，(→a－→b)⊥→c，→a⊥→b，若|→a|＝1，则|→a|2
＋|→b|2＋|→c|2的值是_______________.
(→a－→b)·→c＝→a·→c－→b·→c＝0??? →→→→→→解析：∵(a－b)⊥c，a⊥b，∴?→，即? a·b＝0
?? (→? a－→b)·(→a＋→b)＝0→a·→c＝→b·→c
→， a·→b＝0|→a|＝|→b|＝1
∴|→c|2＝(－→a－→b)2＝2，所以|→a|2＋|→b|2＋|→c|2＝4.
评注：本题通过两向量的垂直关系确定出三个向量内积间的相互关系及向量→b的模，为问题的解决提供了条件.同时本题将向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想.
例2P是△ABC所在平面上一点，若→PA·→PB＝→PB·→PC＝→PC·→PA，则P是△ABC的( D ) A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
→·PB→－PB→·PC→＝0，即→→·CA→＝0，解析：由→PA·→PB＝→PB·→PC，得PAPB·(→PA－→PC)＝0，即PB则PB⊥CA，同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.
评注：本题通过向量的代数运算得出“点积为零”，由此判断两向量所在直线互相垂直，从而使问得以解决.
二、向量垂直的坐标形式的应用
高中数学
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向量垂直的坐标形式：设非零向量→a=(x1，y1)，→b=(x2，y2),则→a⊥→b?x1x2＋y1y2＝0.
→ 例3已知向量→a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且→a⊥→b，则由x的值构成的集合是( ) (A){2，3}
(B){－1，6}
(C){2}
(D){6}
解析：由→a⊥→b，得→a·→b＝0，即2(x－5)＋3x＝0，解得x＝2，选(C).
评注：本题直接应用两向量的数量积为零建立方程，进而求出参数的值，这是高考中常见的题型.
→＝(k,1),→例4在△ABC中，∠A＝90°，ABAC＝(2,3)，则k的值是_________. 3 解：由→AB·→AC＝(k，1)·(2，3)＝0，得k＝－. 2
评注：本题与例3一样，直接应用两向量的数量积为零建立方程求解的，不同的是两题的背景不同，例3是单纯的向量题，而此题是以三角形为背景的向量题.
→例5已知向量→a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若k→a－2→b与→a垂直，则实数k等于______. 解析1：因为(k→a－2→b)·→a＝0，所以k|→a|2－2→a·→b＝0， 即2k－2＝0，解得k＝－1.
解析2：∵→a=(1，1)，→b=(2，－3)，∴k→a－2→b＝(k－4，k＋6)，则 由(k→a－2→b)·→a＝0，得1×(k－4)＋1×(k＋6)＝0，解得k＝－1.
评注：本题利用了两种方法求解，解法1是先通过向量的代数运算，再代入坐标进行求解；第二种方法是先代入坐标进行向量的坐标运算直接得出结果，显然第一种方法比第二种方法解答过程简单.
例6已知向量→a＝(cos?，sin?)，→b＝(cos?，sin?)，且→a≠±→b，那么→a＋→b与→a－→b的夹角的大小是__________________________.
→→解析：a＋→b＝（cos?＋cos?，sin?＋sin?），a－→b＝（cos?－cos?，sin?－sin?）， 设→a＋→b与→a－→b的夹角为?，则(→a＋→b)·(→a－→b)＝cos2?－cos2?＋sin2?－sin2?＝0，
?
∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)，即→a＋→b与→a－→b的夹角的大小是. 2
高中数学
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评注：本题是一道与三角交汇试题，这是高考体现能力立意的一种典型题型，同时表明所求两个向量的夹角为直角时，可通过向量垂直来求得.
高中数学
北师大版数学高一(北师大)必修4素材 2.6向量垂直的充要条件的两种形式在高考中的应用
