第2讲 导数的应用(一)
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． 解析 f′(x)＝ex(x－2)， 令f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)
2．(2013·浙江卷改编)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是________．
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 答案 ②
3．(2014·苏州模拟)函数y＝xex的最小值是________．
解析 y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x＜－1时，y′1
＜0，x＞－1时，y′＞0，所以x＝－1时，ymin＝－e. 1
答案 －e
4．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为________．
1－2x1解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y′＝x－2x＝x，令y′1－2x2222
＝x＝0，解得x＝2，当x＞2时，y′＜0，当0＜x＜2时，y′＞0，22
所以当x＝2时，函数取得极大值，故函数的极值点为2. 2
答案 2 5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则________． 11
①a＜－1；②a＞－1；③a＞－e；④a＜－e. 解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1. 答案 ①
1
6．已知函数f(x)＝－2x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
?x－1??x－3?3
解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－x＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)
x的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1 2 7．(2014·淄博模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，在x＝－1时有极值0，则a－b＝________. 解析 由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 2????a＋3a－b－1＝0，?a＝1，?a＝2，?解得?或? ????b－6a＋3＝0，?b＝3?b＝9， 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. 答案 －7 8．(2013·福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________． ①?x∈R，f(x)≤f(x0)；②－x0是f(－x)的极小值点；③－x0是－f(x)的极小值点；④－x0是－f(－x)的极小值点． 解析 ①错，因为极大值未必是最大值；②错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；③错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；④正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点． 答案 ④ 二、解答题 9．(2014·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的2 切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝3时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 2 当x＝3时，y＝f(x)有极值， ?2? 则f′?3?＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② ??由①②，解得a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为x＝1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5. (2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 所以f′(x)＝3x2＋4x－4. 2 令f′(x)＝0，解得x＝－2或3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x f′(x) f(x) －3 8 (－3，－2) ＋ －2 0 13 2???－2，3? ??－ 23 0 9527 ?2??3，1? ??＋ 1 4 95所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27. 10．(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＜0，求f(x)的单调区间． 解 (1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex， 所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex， 所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e，又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0. (2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex ＝[ax2＋(2a＋1)x]ex， 2a＋11 ①若－2＜a＜0，当x＜0或x＞－a时，f′(x)＜0； 当0＜x＜－ 2a＋1 a时，f′(x)＞0. ?2a＋1? ?；单调递增区间为所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，?－，＋∞a??2a＋1?? ?0，－?. a?? 11 ②若a＝－2，f′(x)＝－2x2ex≤0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)． 2a＋11 ③若a＜－2，当x＜－a或x＞0时，f′(x)＜0； 当－ 2a＋1 a＜x＜0时，f′(x)＞0. 2a＋1?? ?，[0，＋∞)； 所以f(x)的单调递减区间为?－∞，－ a???2a＋1? ?. 单调递增区间为?－ a，0?? 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、填空题 f?x? 1．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝x在区间(1，＋∞)上一定________． ①有最小值；②有最大值；③是减函数；④是增函数 解析 由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a<1，又f?x?aa g(x)＝x＝x＋x－2a，则g′(x)＝1－x2，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数． 答案 ④ 2．(2013·金陵中学模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 解析 ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b， Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
创新设计高考数学苏教文一轮题组训练：导数的应用一
