APCB
6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，?BAD?60?，则?EDC?__________
7．（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，
B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC?BE．
9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD
参考答案
例题1、证明：△OAE≌△ODF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得：AE=DF。 同理证得：△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：EB=CF，AB=CD。 因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD 三边相等。 所以：△AEB≌△DFC
例2 F于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于N ∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点 ∴PM=PF,PN=PE 又AMPN为矩形. ∴AN=PM=PF
∵∠EPF=∠BAC=90° ∴△PEF≌△ANP ∴∠NAP = ∠PFE
又∠NPA=∠FPG(对顶角) ∠NAP +∠NPA=90° ∴∠PFE+∠FPG=90° ∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90° ∴AP⊥EF
例3 ∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧） ∴△BDH≡△ADC
∴HD＝CD，BD=AD
∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形 ∴∠BCH＝∠ABD=45°
例4：在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG ∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90 ∵BG＝DQ
∴△ABG≌△ADQ （SAS） ∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ ∵∠PAQ＝45
∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45
∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45 ∴∠PAG＝∠PAQ ∵AP＝AP
∴△APQ≌△APG （SAS） ∴PQ＝PG
∵PG＝PB+BG＝PB+DQ ∴PB+DQ＝PQ
例5、
例6
例7
（1） 根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形
内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合） （3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意， ∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C， ∴∠AP1B+∠BP1C=180度． ∴P1在AC上，
同理，P2也在AC上．（9分） 在△DP1P2和△BP1P2中，
∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共， ∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）
所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称． 设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC， 所以点P是四边形的半等角点．
例8
证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足， 由题意知，OE=OF，OB=OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC ∴∠B=∠C，从而AB=AC。
（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足， 由题意知，OE=OF。 在Rt△OEB和Rt△OFC中， ∵OE=OF，OB=OC，
七-八年级三角形的奥数题及其答案
