《三角形综合》
例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC
例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．
例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．
例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．
求证：PQ＝PB＋DQ．
例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．
例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝23，PC＝4， 求ΔABC的边长.
例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．
( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。
( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。
例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。 （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC； （2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； （3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。
练习试题：
1．如图，在△ABC中，过点O作EF∥BC交AB?ABC和?ACB的平分线相交于点O，于E，交AC于F，过点O作OD?AC于D．下列四个结论：
1①?BOC?90°+?A；
2②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切； ③设OD?m，AE?AF?n，则S△AEF?mn； ④EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S?DMC、S?DAC和S?DBC分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。当AB ∥CD时，有S?DMC＝
S?DAC?S?DBC (1)
2（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。
（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，S?DMC、S?DAC和S?DBC有何种相等关系？试证明你的结论。
AMBABMD图1CD图2C
CAOD图3MB
3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62，则∠AEB的度数是【 】 （A）124
o
o
（B）122
o
（C）120
o
（D）118
o
4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝60，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________
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七-八年级三角形的奥数题及其答案
