导数复习系列（3）
——利用导数研究不等式的恒成立问题
?1312?1． 设函数f(x)＝3x－2x＋2x，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________． ??
??|x3?2x2?x|,x?12.已知f(x)??，,命题“?t?0,f(t)?kt”是假命题，则k的取值范围是_______.
,x?1?lnx
3.(2012·无锡调研)若不等式e?x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
4.（2008江苏）设函数f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值为 .
xa
5．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
?x2?
变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2?ex－e?成立．
?? 6.
131214??1．设函数f(x)＝3x－2x＋2x，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________．3 ??
??|x3?2x2?x|,x?12.已知f(x)??，,命题“?t?0,f(t)?kt”是假命题，则k的取值
,x?1?lnx范围是_______.
3.(2012·无锡调研)若不等式e?x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． (2)当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立． xx
当x＞0时，在ea＞x两边取自然对数，得a＞ln x. ①当0＜x≤1时，ln x≤0，当a＞0时，不等式恒成立；
xx
当a＜0时，ln x＜0，aln x＞0，不等式等价于a＜ln x，由(1)得，此时ln x ∈(－∞，0)，不等式不恒成立．
xx
②当x＞1时，ln x＞0，则a＞0，不等式等价于a＜ln x，由(1)得，此时ln x的最小值为e，得0＜a＜e.
综上，a的取值范围是(0，e)．
34.（2008江苏）设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值
xa为 .
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f?x?≥0显然成立；当x＞0 即x∈（0，1]时，f?x??ax?3x?1≥0可化为，a?331?3 2xx设g?x??3?1?2x?31?1??1?'?gx?，则， 所以 在区间上单调递增，在区间0,,1?上单调递减，gx???????x2x3x422????因此g?x?max?g???4，从而a≥4；
?1??2?3当x＜0 即x∈??1,0?时，f?x??ax?3x?1≥0可化为a?3?1?2x?31'?0 ?gx?，??234xxxg?x? 在区间??1,0?上单调递增，因此g?x?man?g??1??4，从而a≤4，综上a＝4
【答案】4
5．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
x2变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2???
?ex－e??成立．
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝1
e. 当x∈?
??0，1e???时，f′(x)＜0；
当x∈??1?e，＋∞?
??
时，f′(x)＞0.
所以f(x)在??1??1?0，e??上单调递减；在??e，＋∞?
??上单调递增． 故当x＝12
e时，f(x)取最小值为－e.
(2)解 存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞价于a≥2ln x＋x＋3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥(2ln x＋x＋3
xx)min. 记h(x)＝2ln x＋x＋3
x，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝23x2
＋2x－3?x＋3??x－1?
x＋1－x2＝x2＝x2.
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0. 所以当x＝1时，h(x)取最小值为4，故a≥4. (3)证明 记j(x)＝2??x2?ex－e???，x∈(0，＋∞)，
则j′(x)＝2??1－x?
?ex??
.
当x∈(0,1)时，j′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，j′(x)＜0. 所以当x＝1时，j(x)取最大值为－2
e. 又由(1)知，当x＝12
e时，f(x)取最小值为－e， 故对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2??x2??ex－e??成立．
6.
)能成立，等
利用导数研究不等式恒成立问题
