第四章 中值定理与导数的应用
一、填空
1、若f?x??x3?x在[0，3]上满足罗尔定理的?值为 。
sin2x1?，则k= 。 2、若limx?01?coskx2323、a? ，b? 时，点（1，3）为y?ax?bx的拐点。
4、ex?x?3在(??,??)内的实根的个数为 。
5、函数y?x?ln(1?x)的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小
值为 。
6、函数f(x)?x(x?5)的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。
322sinx(cosx?b)?5，则a? ，b? 。
x?0ex?ax?1x8、y?()的水平渐近线为 。
x?17、若lim二、选择
1、设f?(x)?(x?1)(2x?1),x?R，则在(?11,)内f(x)是（ ） 24 A、单调增加，图形上凹 B、单调减少，图形上凹 C、单调增加，图形下凹 D、单调减少，图形下凹
2、设函数f(x)在[0，1]上可导，f?(x)?0并且f(0)?0,f(1)?0，则f(x)在（0，1）内（ ）
A、至少有两个零点 B、有且仅有一个零点 C、没有零点 D、零点个数不能确定 3、函数y?f(x)在x?x0处取得极大值，则必有（ ） A、f?(x0)?0 B、f??(x0)?0
C、f?(x0)?0且f??(x0)?0 D、f?(x0)?0或不存在
lnx的垂直渐近线为（ ） 2x?1 A、x?1 B、x??1 C、x??1，x?0 D、x?0
4、f(x)?5、函数f(x)有连续二阶导数，且f(0)?0，f?(0)?1，f??(0)??2， 则limx?0f(x)?x?（ ） 2x A、-1 B、0 Ｃ、不存在 Ｄ、－２
６、已知f(x) 在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，lim则在x?0处f(x)（ ）
f(x)?2，
x?01?cosx Ａ、不可导 Ｂ、可导且f?(0)?0 Ｃ、取得极大值 Ｄ、取得极小值 ７、设在［０，１］上，f??(x)?0，则f(x)满足（ ）
Ａ、f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) Ｂ、f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) Ｃ、f(1)?f(0)?f'(1)?f?(0) Ｄ、f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
８、设f(x)??f(?x)对一切x恒成立，且当x?(0,??)时，有f?(x)?0，
f??(x)?0，则f(x)在(??,0)内一定有（ ）
Ａ、f?(x)?0，f??(x)?0 Ｂ、f?(x)?0，Ｃ、f?(x)?0，f??(x)?0 Ｄ、f?(x)?0，
f??(x)?0 f??(x)?0
９、设函数f(x)在上有定义，在开区间(a,b)内可导，则（ ） Ａ、当时，存在??(a,b)，使f(?)?0 B、对任何??(a,b)，有lim[f(x)?f(?)]?0
x??C、当f(a)?f(b)时，存在??(a,b)，使f(?)?0 D、存在??(a,b)，使f(b)?f(a)?f(?)(b?a) 10、设f(x)?x(1?x)，则（ ） A、x B、x C、x D、x''?0是f(x)的极值点，但（0，0）不是曲线y?f(x)的拐点 ?0不是f(x)的极值点，但（0，0）是曲线y?f(x)的拐点 ?0是f(x)的极值点，且（0，0）是曲线y?f(x)的拐点 ?0不是f(x)的极值点，（0，0）也不是曲线y?f(x)的拐点
三、计算 1、limx?0arctanx?xln(1?2x)11 2、lim 3、(?) lim32x?0x?0ln(1?2x)sin3xxxtanx?(1?x)4、limx(?arctanx) 5、lim?x???x?0?2e???1x?1? 6、lim(1?x2)x ?x?0??'1x四、应用题
1、已知函数y?f(x)，在(??,??)上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数f(x)的
图形如图所示，且f(?1)?8，f(0)?7，f(1)?6，f(2)?5，f(3)?4 则（1）函数 （2）函数 （3）函数 （4）函数 （5）函数
f(x)的驻点是 。
f(x)的递增区间为 。 f(x)的递减区间为 。 f(x)的极大值为 。 f(x)的极小值为 。
（6）曲线y?f(x)的上凹区间
为 。 （7）曲线y?f(x)的下凹区间
为 。 （８）y?f(x)的拐点
-1 为 。
（注：只写结果即可）
２、一商家销售某商品，其销售量Ｑ-3 （单位：吨）与销售价格Ｐ（单
位：万元／吨）有关系：Ｑ＝３５－５Ｐ，商品的成本函数为Ｃ＝３Ｑ＋１（万元），若销售一吨商品，政府要征税a万元
（１）求商家获得最大利润（指交税后）时的销售量Ｑ
（２）每吨税收a定为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额最大？ ３、已知f(x)?x?ax?bx?c在x?0处有极大值，且有一拐点（１，－１），求
32-1 1 2 3 a,b,c之值，且求f(x)的单调区间，凹向与极小值。
五、证明
１、证明：当0?x??时，有sinxx? 2?12２、设f(x)在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且f(0)?f(1)?0，f()?1 试证明：至少存在一个点??(0,1)，使得f?(?)?1
答案
一、 填空
1、2 ； 2、?2 ； 3、a39??,b?； 4、2； 5、(??,??)；1-ln2 ; -1-ln2；
226、x1?0，x2?3，x3?5;108；0； 7、a?1,b??4； 8、y?e2
二、选择
1、D 、2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、B 8、C 9、B 10、C 三、计算
221、解：原式=lim1?2x?
x?03cos3x31?12?x21arctanx?x1?x??2、解：原式=lim ?limlim?x?0x?0x?06x2(1?x2)62x36x2sec2x?1tanx?xtanx?x3、解：原式=lim=lim=lim 23x?0x2tanxx?0x?03xx12x1?cosx12=lim= ?limx?03x2cos2xx?03x262?4、原式=
x???lim2?arctanx1x1x121?x=limx???1?2x1xx2??1 =lim?x???1?x2ln(1?x)?xx2(1?x)]?e5、解：原式=lim[x?0e6、解：原式=
1ln(1?x)?1limxz?0x=ex?0lim=e1?1lim1?xx?02x=ex?0lim?12(1?x)??1
e1ln(1?x2)x???xlim=eln(1?x2)x???xlim
2x2ln(1?x) ?lim =lim1?x?0
x???x???x12? 原式=e0?1
四、应用 1、解：（1）x??1,x?1,x?3；（2）(??,?1)和(3,??)；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4；（6）（0，
1）和(2,??)；（7）(??,0)和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为：L(Q)?QP?3Q?1?aQ
又由Q?35?5p得P?7?0.2Q
? L?Q??Q?7?0.2Q??3Q?1?aQ
0.2Q2?(4?a)Q?1
?L?(Q)??0.4Q?4?a 令L?(Q)?0得驻点 L??(Q)??0.4Q?0
?Q?10?2.5a（吨）时，获利润最大。
（2）征税总额为：T T?aQ，而Q是厂家获利最大时的销售量，因此，此处Q?10?2.5a
?10a?2.5a2 T??10?5a 令T??0得驻点a?2
?T???3、解：
?5?0 ? 当a?2万元时，征收税额最大。
f(0)?1 ? c?1
f?(x)?3x2?2ax?b f?(0)?0 ? b?0 f??(x)?6x?2a f??(1)?0 ? a??3
令 令 ?
f?(x)?3x2?6x?3x(x?2)?0 ? x?0,x?2 f??(x)?6x?6?6(x?1)?0 ? x?1
f?x??x3?3x2?1
x (??,0) + 0 （0，1） 1 （1，2） 2 (2,??) + f??x? f??(x) 0 - - 0 - - 0 + + f(x) 上升下凹 局大 下降下凹 拐 下降上凹 局小 上升上凹 ? fmin?2???3
五、证明
1、证明：设
f(x)?sinxx?2? 则
f?(x)?1x1cos? 22?
1xf??(x)??sin?0,(0?x??)
42 ? 函数 又由于 ? 当0?f(x)对应曲线在(0,?)内向上凸
f(0)?f(?)?0
时，
x??f(x)>0
即：sinxx?2?
2、证明：作辅助函数F(x)?f(x)?x
显然F(x)在[
1111?0，由零，1]上连续，在（，1）内可得，且F(1)??1?0,F()?22221,1)，使得F(?)?0，又由于F(0)?0，对F(x)在[0,?]上应用罗2值定理，存在点??(尔定理，存在点??(0,?)?(0,1)使得F?(?)?0，即f?(?)?1
第四章 中值定理与导数的应用 习题及答案
