中考数学压轴题专题相似的经典综合题及答案
一、相似
1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE； （2）AE=BE+ ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE
（2）证明：在AE上截取EF=BE，
OE．
【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
则△EFB是等腰直角三角形， ∴
，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵ ∴
， ，
∴△ABF∽△BOE，
∴ = ∴AF=
， OE， OE．
∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为
OE，由AE=AF+EF，可证得结论。
，
，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比
例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF=
2．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】 （1）解：如图1，
∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC=
，
∴A（-1， 把A（-1，
），
）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=
；
（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG， ∴
，
∵AC=4BC， ∴ =4， ∴AF=4FG， ∵A的横坐标为-4， ∴B的横坐标为1，
∴A（-4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB， ∴ ∴
， ，
∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ；
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