玩转数学 2021高考数学解答题提分特训营 安老师培优课堂
第6讲 统计概率第二篇
[考点分析]
全国课标卷概率统计必有一道解答题，而且题型相对固定，概率统计解答题主要涉及生产活动的如质检（一等品、二等品次数期望等）、检验费用、疾病治疗和实验等 ；电路的通断概率；体育竞技赛事胜负概率问题（包括球类、棋类等）；保险费用问题；样本估计总体（常利用频率分布直方图、频率、频数表、茎叶图、条形图、扇形图等）问题；线性回归方程的求解及应用其进行预报（偏重数据处理能力）；独立性检验问题；以及考查互斥事件、对立事件、独立事件等概率及条件概率（较少涉及）的问题；n次独立重复试验的分布列和数学期望、超几何分布的分布列和数学期望等等。这些考题充分体现了概率统计是研究随机现象统计规律的重要特征，为相关部门的决策提供帮助和技术支持。当然这些知识点也常常与函数（包括分段函数）的最值问题、不等式（特别是基本不等式）有机结合.
[特训典例]
题型一 超几何分布
例1 【江西省新八校2019届高三第二次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、
优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 个数 标准果 10 优质果 30 精品果 40 礼品果 20 （1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
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售价(元/kg） 16 18 22 24 从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．
超几何分布分析 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．
[特训跟踪]
1．（2020天津高三期末）每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰. ⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑴若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑴若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.
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2.（2020北京高三期末）某市《城市总体规划（2016?2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61）、良好小区（指数为0.4、中等小区（指数为0.20.4）以及待改进小区（指数为00.2）4个等级.0.6）
下面是三个小区4个方面指标的调查数据：
?w2T2?w3T3?w4T4，其中w1、w2、w3、w4为该小区四注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T?wT11个方面的权重，T1、T2、T3、T4为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.
现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 频数
（Ⅰ）分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅰ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为?，求?的分布列及数学期望.
?0,0.2? 10 ?0.2,0.4? 20 ?0.4,0.6? 30 ?0.6,0.8? 30 ?0.8,1? 10
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题型二 二项分布
例2 （山东淄博高三期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x（单位：亩） 管理时间y（单位：月） 1 8 2 10 3 13 4 25 5 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 男性村民 女性村民 愿意参与管理 150 50 不愿意参与管理 50 （1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式：r??(x?x)(y?y)1ii?1n?(x1?x)i?1n22(y?y)?ii?1n2n(ad?bc),k?,其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2临界值表：
P(K2?k0) 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 k0 参考数据：635?25.2
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独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． ②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
[特训跟踪]
1.（2020北京西城高三期末）高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
老年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 中年人 10分(满意) 12 1 5分(一般) 2 3 0分(不满意) 1 0
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
的青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 20 2 20 1 6 2 4 9 6 3 4 4 乘坐飞机 （2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
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