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2.3.2 双曲线的简单性质（二）
[A.基础达标]
1．直线y＝kx＋2与双曲线x－y＝2有且只有一个交点，那么k的值是( ) A．±1 B．±3 C．±1，±3 D．±2
2222
解析：选C.把y＝kx＋2代入x－y＝2，整理得，(1－k)x－4kx－6＝0.
2
当1－k＝0，即k＝±1时，y＝kx＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．
222
当1－k≠0时，当y＝kx＋2与x－y＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k＝±3. 综上可知，满足条件的k的值为±1，±3.
2．已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
2
2
A.－＝1 36C.－＝1 63
x2y2x2y2
B.－＝1 45D.－＝1 54
x2y2x2y2
x2y2
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则2
abx2y22
－＝1，②a2b2
（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
①－②得－＝0，因为x1＋x2＝－24，y1＋y2
a2b2
y1－y2
＝－30，＝1，
x1－x2
22
所以4b＝5a，又因为c＝3，所以a＝2，b＝5，
x2y2
故E的方程为－＝1.
4
5
?????
x2y211
2－2＝1，①abx2y23
3．已知双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲ab3
线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为( )
A.3 C.2
B.5＋1 D．2＋3
c2y2b2b2
解析：选A.由题意得P的横坐标为c，由2－2＝1得y＝，即P(c，)，kF1P＝
abaac－（－c）
c2－a2e2－13＝＝＝得e＝3.
2ac2e3
x2y2
4．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线
ab的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
2
A．(1，2) B．(1，3)
32
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
3
b2ax2y2b解析：选B.双曲线2－2＝1的渐近线为y＝±x，
aba金戈铁制卷
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b3c2－a23
由题意得，0＜＜tan 30°＝，即＜.
a3a3
又因为e＞1，所以e∈(1，
23
)． 3
2
2
1xy5．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，
294
当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )
41A. B. 922C. D．与P点位置有关 3
1y＝x，2362
解析：选A.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由22得y＝，则y1＋
7xy－＝194
3636y1－y0y2－y0y20＋y1y2
y2＝0，y1y2＝－，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.由于kPA·kPB＝·＝2＝
77x1－x0x2－x0x0＋x1x2
3636y2y20－0－
7744
＝＝，即kPA·kPB为定值，故选A. 2
y0369236999（＋1）－4×（y0－）
4747
??
???
6．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直线：①5x－3y＝0；②x－y916
－4＝0；③5x－3y－52＝0；④4x－3y＋15＝0.如果上述直线上存在点P，使|PF2|＝|PF1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．
解析：由－＝1，所以a＝9，b＝16，
9162
所以c＝25，c＝5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|－|PF1||＝6＜10.
当直线上存在点P满足|PF2|－|PF1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已
4
知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
354
对于①③两直线的斜率均为＞，
33
故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点． 答案：②④ 7．直线l与双曲线－y＝1相交同一支于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，
2
则直线AB的斜率为________．
解析：设l的方程为y＝kx＋b，
x2y2
x2y2
22
x2
2
x??－y2＝1，222由?2消去y得：(1－2k)x－4kbx－2b－2＝0. ??y＝kx＋b因为l与双曲线交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22
故Δ＝8b＋8－16k＞0，①
2
1－2k≠0，
由根与系数的关系知：
2
金戈铁制卷
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4kb2b，则y＋y＝k(x＋x)＋2b＝121222. 1－2k1－2k因为线段AB的中点在直线y＝2x上，
b4kb所以有2＝2，
1－2k1－2k1
得k＝，满足①式．
4
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
1答案：
4
x1＋x2＝
x2y2
8．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交
ab→→
于A，B两点，且AF＝3BF，则双曲线离心率的最小值为________．
→→
解析：因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点且AF＝3BF，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
→→
右焦点F(c，0)，因为AF＝3BF，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，
cx2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2，所以离心率的
a最小值为2.
答案：2
x2y2
9．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且经过点(－3，26).
ab(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．
解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，
根据定义有2a＝|（－3＋2）＋（26－0）－（－3－2）＋（26－0）|＝2，
222
所以a＝1，由以上可知：a＝1，c＝4，b＝3. 所以所求双曲线C的方程为x－＝1.
3渐近线方程为y＝±3x.
?y＝kx＋2(2)由?
2
2
2
2
2
y2
?
得(3－k)x－4kx－7＝0.
x－＝1，?3?
2
y2
22
①当3－k＝0即k＝±3时，此时直线l与双曲线相交于一个公共点，符合题意； 2
②当3－k≠0即k≠±3时，由Δ＝0得k＝±7， 此时直线l与双曲线相切于一个公共点，符合题意，
综上所述：符合题意的k的所有取值为3，－3，7，－7.
10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．
金戈铁制卷
2
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(1)求双曲线C的方程；
→→
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
x2y2
解：(1)设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)．
ab2222
由已知得a＝3，c＝2，再由a＋b＝2，得b＝1.
x22
故双曲线C的方程为－y＝1.
3
(2)将y＝kx＋2代入－y＝1得
3(1－3k)x－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
2
?1－3k≠0，122
即k≠且k<1.(*)
3
62k－9
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝2，xAxB＝2，
1－3k1－3k→→
由OA·OB>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)
2
＝(k＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2
2
－962k3k＋72
＝(k＋1). 2＋2k2＋2＝2
1－3k1－3k3k－1223k＋7－3k＋912
于是2>2，即2>0，解此不等式得 3k－13k－13 12 由(*)(**)得 3故k的取值范围为(－1，－ 33 )∪(，1)． 33 [B.能力提升] 2 2 x2 2 ?222 ?Δ＝（－62k）＋36（1－3k）＝36（1－k）>0， x2y2 1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线 ab的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) x2y2x2y2 A.－＝1 520223x3yC.－＝1 25100 B.－＝1 205223x3yD.－＝1 10025 解析：选A.由题意得：＝2，左焦点为(－c，0)在y＝2x＋10上，得c＝5，a＝5，b＝25. 故双曲线的标准方程为－＝1. 520 2．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1 和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ?23??23?A.?B.?，2? ，2? ?3??3? 金戈铁制卷 bax2y2 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ C.? ?23? ，＋∞? ?3? D.? ?23? ，＋∞? ?3? 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称．又 由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 2 c?2c2b1bb2?2 30°且小于等于60°，即tan 30°<≤tan 60°，所以<2≤3.又e＝??＝2＝1＋2，a3aa?a?a4223 所以 33 3．已知双曲线－＝1，左焦点为F1(－5，0)，点P在双曲线的右支上，则直线PF1 169 的斜率的取值范围是________． ?y＝k（x＋5），①22 x2y2 ?22 解析：设直线方程为y＝k(x＋5)，和双曲线－＝1联立有?xy169－＝1，②??169 xy将①代入②得(9－16k)x－160kx－400k－144＝0. 2422 ?Δ＝160k＋4（9－16k）（400k＋144）＞0， 2 2 2 2 ?2 所以?400k＋144 x1·x2＝＜0，2?16k－9? Δ＝1＋k2＞0，?? 得?29 k＜，?16? 33解得－＜k＜. 4433 答案：(－，) 44 x2y22 4．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x＝2py(p＞0) ab的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程 为________． 解析：抛物线的准线为y＝－，焦点为F?0，?， 2?2? p?22?2 所以a＋??＝c.① ?2?设抛物线的准线y＝－交双曲线于M?x1，－?， 2?2? p? p?p? p?py＝－，??2p??N?x，－?两点，所以? 2??xy??a－b＝1， 2 22 22 x2p2 即2－＝1，解得x＝±a 2＋1， ab24bp2 所以2a 2＋1＝2c.② 4b222 又因为b＝c－a，③ c2b2c2 所以由①②③，得2＝2，所以2＝2－1＝1， aaa金戈铁制卷 ?－p??2??? 2
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单性质(二)作业 北师大版选修1-1
