不等式证明的基本技巧
数学竞赛的历史，可以追溯到16世纪意大利求解三次方程“擂台战”。而1894年匈牙利举办的全国中学数学竞赛，可以说是开中学生数学竞赛的先河。中国的少年在IMO上屡屡夺标，不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神，而且肯定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。如果说，一名中学生，他有可能选择是否接受竞赛数学的培训，那作为一名中学数学老师没有理由对中学数学中这块领域毫无所知，所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课程。
在学习竞赛数学这门课程过程中，我比较注重它的思想和方法，课余时间我还会借阅有关课外书籍，这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。对于不等式部分我很感兴趣，并做了一些研究。竞赛数学中的不等式问题按范围可分为代数不等式、三角不等式与几何不等式，按可形式分为不等式求解、不等式证明与不等式应用，这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。下面就不等式证明这一部分我给大家做一些介绍。
证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式，进行合乎逻辑的等价变换。不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数法公式法、调整法等。下面举例说明证明不等式的常用技巧。
?a?b??a?b?c3??ab??3??abc?. 例1 设a,b,c为正数，证明2?3?2???证
?a?b?c3??a?b?3??abc??2??ab?3???2? ＝?a?b?c???a?b??33abc?2ab
＝c?33abc?2ab.设x＝6ab，y＝3c，则x?0，y?0， 3233c?3abc?2ab＝y?3x?2x＝y?xy?2xy?2x22222 ＝?y?x???y?xy?2x????＝?y?x??y?x??y?2x?33＝y?y?x??y?x??2x?y?x?
＝2?y?x??y?2x??02仅当x＝y即ab＝c时等号成立.
?a?b??a?b?c3??ab??3??abc?. 所以2?3?2???
分析 这里主要是运用了比较法，欲证A≥B，证A-B≥0即可，并且在这A过程中需作适当的等量替换.若A,B>0，则证≥1亦可.这就是比较法的主要思B路. 例2 设S＝?80k＝11,求证16?S?17. k证 对自然数k，显然成立 k?1?k?2k?k?k?1,取倒数可得
1
2kk?k?1
12k?1?k??2k?k?1,kk?k?1?1?1,???? 对k从m到n求和交叉相消可得 2n?1?m????nk＝m12n?m?1 k?? 所以，在上式的左式中m＝1，n＝80，即得16 例3 a,b,c?R,求证：???. 1?a?b?c1?a1?b1?c ??a?b?cabcx证 构造函数f?x?＝,x??0,???则当0?x1?1?x f?x?＝x1?x2121 x时，22?xxx?＝?0 1?x?1?x??1?x?112x所以函数f?x?＝在?0，???上是严格递增的，由 1?x a?b?c?a?b?c有f?a?b?c??f?a?b?c?. 即 a?b?c1?a?b?c?a?b?c1?a?b?c abc ＝ ??1??a?b?c?1??a?b?c?1??a?b?c? ?a1?a?b1?b?c1?c x在相应四个点1?x的函数值，由此我们设置辅助函数来研究不等式.利用不等式的特点，构造辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法。 分析 不等式中四个式子形式相似，相当于函数f?x?＝ 例4 设a，b，c是三角形的三边长，求证 . ab?a?b??bc?b?c??ca?c?a??0，并确定等号成立的条件222 证 令s为半圆周，即s＝ 则x,y,z?0，且 1?a?b?c?，再令x＝s?a,y＝s?b,z＝s?c, 2 a＝y?z,b＝z?x,c＝x?y. 此代换把欲证之不等式变为 3323 2??xy?yz?zx?????xyz???? 又可变为 yzy2zx?zxy???0, ?2?z?x?2?zx?z?y?2?xy?y?z??0, 2 最后一式显然成立，故知欲证不等式成立，且等号成立当且仅当 x=y=z, 即 a=b=c. 分析 本题证法常用于与三角形有关的不等式，构造几何图形，解释代数公式，利用几何的性质，推导相应的结果，本题如设a≥b≥c，则失去一般性（因题设不等式左边对a，b，c不是对称多项式） 例5 设x，y，z为实数，x+y+z=0，求证 6?x?y?z??x?y?z?333?2222 3 证 以x，y，z为根的三次方程为（t-x）（t-y）（t-z）=0, 即t?pt?q＝0，其中p＝yz?zx?xy,q＝?xyz. 因 x+y+z=0,故 1 p＝??2?3?x?y?z?y22???x??2y2122??z???＝???x???2?y22?z? ?，? 12q＝??x?y?z????x??3?32?z?yz?zx?xy?????x???y3133??z???＝???x???3??. y?z??33有三次方程有三实根可知 ?t＝??q???p??0, ????2??3?x223 代入即得欲证之不等式. 分析 利用 2?0和配方的证法，称为配方 法.设f?x?＝ax?bx?c,a?0,f?x??0 恒成立等价于判别式?＝b?4ac?0,这就是二次函数判别式法。设 2q??p?? f?x?＝x?px?q,则f?x?有三个实根等价于判别式?＝??????2??3?323?0, 这是三次函数判别式法。 1111????????n?N?,求证: 例6 已知f?n?＝23nn?2n?n?1?. f2?2 证 用数学归纳法证 11125421???＝?成立 当n=2时，f2＝234122k?2k 假设n=k时命题成立，即 f2? ,则当n＝k?1时，2?????? f?2?＝f?2??k?1k1k2?12?2?1k??????12?2kk ?k?2111?k?1?k?1?????k?1 2222kk?22k?2?1(k?1)?2 ＝?k?1＝＝,结论成立 2222综上所述，不等式f2?2??n??n?1?成立. 2n分析 与自然数n有关的不等式问题，往往采用数学归纳法.应用数学归纳法， 假设n=k成立，推证n=k+1时成立，但这个过程中往往需要较高的变形技巧. 上面就是我例举的几个常用方法的应用，其他方法在这里我就不一一举例了，注意上述方法还可综合运用。在对这门课程的学习、钻研时，我深刻地认识到自己专业知识还不够精深，需要学习的东西还很多，我相信，只要不怕困难，敢于钻研，经过努力，我一定能够收获更多有关竞赛数学这门科的知识，深化且不断地提高自己的知识层面，为将来当一位合格的教师做好准备! 精心搜集整理，只为你的需要
竞赛数学不等式完整版
