2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试

第二章 一元二次函数、方程和不等式

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是( D ) 11A．若a>b，则<

ab

B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d C．若a>b，则a·c2>b·c2 D．若a·c2>b·c2，则a>b

11

[解析] 由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项

abB中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．

根据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．

???x＋2

≤02．若集合A＝?x???x－1?

??

?，B＝{x|－1

A．{x|－2≤x<2} C．{x|－1

x＋2

[解析] 由题意，A＝{x|≤0}

x－1＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－1

B．{x|－1

ba

3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关

ab系是( B )

A．A≥B C．A

B．A>B D．A≤B

[解析] 因为a，b都是正实数，且a≠b， ba

所以A＝＋>2ab

ba·＝2，即A>2， ab

B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2

＝－(x－2)2＋2≤2， 即B≤2，所以A>B．

32

4．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则＋的最小值是( C )

xy5A． 3C．8

8B．

3D．24

[解析] 因为2x＋3y＝3，x，y均为正数， 32132

则＋＝(＋)(2x＋3y) xy3xy19y4x＝(12＋＋)≥3xy

12＋239y4x·xy

＝8，

9y4x

当且仅当＝且2x＋3y＝3，

xy

3132

即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是8.

42xy

5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是( D ) A．{a|－16

B．{a|－16

[解析] 不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R， 所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8

6．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是( A ) A．{m|m<6} C．{m|m≥6}

B．{m|m≤6} D．{m|m>6}

9[解析] 当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立?当x>0时，不等式m

x99＋)min，当x>0时，x＋≥2xxm<6.

7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝p?p－a??p－b??p－c?求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为( C )

99

x·＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此(x＋)min＝6，所以xx

A．45 C．85

[解析] 由题意，p＝10， S＝

10?10－a??10－b??10－c?＝

B．415 D．815

10－a＋10－b

20?10－a??10－b?≤20·＝85，当且

2

仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为85. a?b＋2c?11

8．已知关于x的不等式x2＋bx＋c<0(ab>1)的解集为空集，则T＝＋的

a2?ab－1?ab－1最小值为( D )

A．3 C．23

B．2 D．4

[解析] 易知a>0，则原不等式的解集为空集等价于x2＋abx＋ac<0的解集为空集，所以Δ＝a2b2－4ac≤0?4ac≥a2b2，

1＋2ab＋4ac1＋2ab＋a2b2

所以T＝≥

2?ab－1?2?ab－1?

?ab－1?2＋4?ab－1?＋414

＝＝[(ab－1)＋＋4]

22?ab－1?ab－11

≥×(4＋4)＝4， 2

4

当且仅当ab－1＝，即ab＝3时，等号成立．

ab－1

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

??1

－0的解集为?x??2

?

?

A．a>0 C．c>0

B．b>0 D．a＋b＋c>0

?

??1

－0的解集为?x?故相应的二次函数f(x)＝ax2?2

?

1

＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个

2cb3

根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可

aa2知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确，故选BCD．

10．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件是( AC ) A．－2

[解析] 由x2－x－6<0得－2

若使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－2

11．设a，b为非零实数，且aab 11C．2<2 abab

B．a2

[解析] 对于A，当a＝2，b＝3时，a12，故B中不等式不恒成立； 11a－b

对于C，2－2＝<0恒成立，故C中不等式恒成立；

abab?ab?2

13

对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]，∵a

241232

b)＋b>0，∴a3

12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) 2ab

A．ab>

a＋bC．a2＋b2>4ab－3b2

B．a>|a－b|－b 2

D．ab＋>2 ab

2ab2aba＋b

[解析] 对于A，ab>?1>?>ab，当a＝b>0时，不等式不成立，故A

2a＋ba＋b中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2?a2＋4b2－4ab>0?(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对2

于D，ab＋≥22>2，故D中不等式正确．

ab

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 1

13．若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋的最小值是__3＋23__. x－111

[解析] ∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2

x－1x－1

1

3?x－1?·＋3

x－1

＝3＋23，

131

当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋23. 3x－1x－1

?11?

0的解集为?x??32

?

?

11

[解析] 由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，，

32

?－a＝3＋2，

根据根与系数的关系得?c11

?a＝3×2，511

??a＝－6，解得?

??c＝－1.

11

15．已知a>b>0，且m＝，n＝a2＋，则m＋n的最小值是__4__.

aba?a－b?[解析] 由已知可得，a>b>0，所以m＋n＝

11112＋2－ab)＋＋a＝＋(a＋

aba2－ababa2－ab

ab≥4，当且仅当a＝2，b＝

2

时，等号成立． 2

16．已知a>b，不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立．存在x0∈R，使ax20＋2x0

a2＋b2

＋b＝0成立，则的最小值为__22__. a－b

[解析] 已知不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立， 当a＝0时，2x＋b≥0，不符合题意；

??a>0，?a>0，

当a≠0时，依题意知???

?ab≥1.?4－4ab≤0?

又存在x0∈R，使ax20＋2x0＋b＝0成立， ∴4－4ab≥0?ab≤1，

因此ab＝1，且a>0，从而b>0，又a－b>0， a2＋b2?a－b?2＋2ab

∴＝ a－ba－b2＝(a－b)＋≥22，

a－b

6＋26－2

当且仅当a－b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．

22